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12. Supposons que, par l’effet de la mauvaise conformation de cette pile, sa base soit un triangle rectangle isocèle, et que sa face adjacente à l’hypothénuse de cette base soit perpendiculaire à son plan. Si l’on construit deux pareilles piles, on pourra les réunir de manière à en former une pile pyramidale quadrangulaire, improprement appelée pile quarrée ; mais il sera nécessaire pour cela d’enlever à l’une d’elles les ${\frac {n(n+1)}{2}}$ boulets de la face qui doit lui devenir commune avec l’autre. Le nombre des boulets de la pile quarrée sera donc ainsi $2.{\frac {n(n+1)(n+2)}{6}}-{\frac {n(n+1)}{2}}={\frac {n(n+1)(2n+1)}{6}}.$

13. Il ne sera pas difficile, d’après cela, d’obtenir le nombre des boulets de ce qu’on appelle pile oblongue, c’est-à-dire, d’une pile dont la base est un rectangle et qui se termine, à la partie supérieure, par une arête unique, parallèle aux longs côtés de sa base. Soient $m$ le nombre des boulets de cette arête, et $n$ le nombre de ceux de l’un des petits côtés de la base ; il est aisé de voir (4) que le nombre des boulets des longs côtés de cette base sera $m-n+1.$

La pile pourra être considérée comme formée de deux autres, l’une quarrée ayant $n$ boulets à ses arêtes et l’autre prismatique triangulaire ayant aussi $n$ boulets aux côtés de ses bases et $m$ à ses arêtes latérales ; ces deux piles ayant une face triangulaire commune. Si l’on veut les isoler l’une de l’autre, il faudra rétablir, pour l’une d’elles, la face commune enlevée par l’autre, et on aura alors pour le nombre total des boulets des deux piles (9) et (11) $m.{\frac {n(n+1)}{2}}+{\frac {n(n+1)(2n+1)}{6}}\,;$ d’où il suit que le nombre des boulets de la pile oblongue sera seulement $m.{\frac {n(n+1)}{2}}+{\frac {n(n+1)(2n+1)}{6}}$ $-{\frac {n(n+1)}{2}}={\frac {n(n+1)(3m+2n-2)}{6}}.$

En rapprochant toutes ces formules on s’assurera que, pour avoir le nombre des boulets d’une pile triangulaire quarrée ou oblongue