Page:Annales de mathématiques pures et appliquées, 1827-1828, Tome 18.djvu/266

on aura donc l’équation de la courbe décrite par les points polaires lorsqu’on fait varier $\alpha$, en éliminant cette indéterminée entre les deux équations (6) ; ce qui conduira de nouveau à l’équation (4). Ainsi, les points polaires d’une droite située à l’infini, relatifs à toutes les courbes du $m.^{\mathrm {i{\grave {e}}me} }$ degré qui passent par les $m^{2}$ mêmes points fixes, sont tous situés sur la même courbe du $\left[2(m-1)\right].^{\mathrm {i{\grave {e}}me} }$ degré dont il vient d’être question.

En généralisant ces trois propositions, à l’aide de la théorie des projections, et en déduisant en outre de chaque proposition, ainsi généralisée, sa corrélative, au moyen de la théorie des polaires réciproques, on obtiendra les théorèmes suivans :

THÉORÈME I. Tant de courbes du $m.^{\mathrm {i{\grave {e}}me} }$ degré qu’on voudra, passant toutes par les $m^{2}$ mêmes points fixes ; 1.o les courbes polaires d’un point quelconque, relatives à toutes ces courbes, passeront toutes par les $(m-1)^{2}$ mêmes points également fixes ; 2.o si ce point parcourt une droite, ces $(m-1)^{2}$ points, décriront une courbe du $\left[2(m-1)\right].^{\mathrm {i{\grave {e}}me} }$ degré ; 3.o enfin, les points polaires de cette droite seront situés sur cette même courbe du $\left[2(m-1)\right].^{\mathrm {i{\grave {e}}me} }$ degré.

THÉORÈME I. Tant de courbes de $m.^{\mathrm {i{\grave {e}}me} }$ classe qu’on voudra ayant toutes les $m^{2}$ mêmes tangentes fixes ; 1.o les courbes polaires d’une droite quelconque, relatives à toutes ces courbes, auront toutes les $(m-1)^{2}$ mêmes tangentes fixes ; 2.o si cette droite tourne autour de l’un de ses points, ces $(m-1)^{2}$ tangentes envelopperont une courbe de $\left[2(m-1)\right].^{\mathrm {i{\grave {e}}me} }$ classe ; 3.o enfin, les droites polaires de ce point toucheront toutes cette même courbe de $\left[2(m-1)\right].^{\mathrm {i{\grave {e}}me} }$ classe.

Dans la supposition particulière de $m=2$, on déduira de ces théorèmes les corollaires suivans :

Corollaire. Tant de lignes du second ordre qu’on voudra étant circonscrites à un même quadrilatère ; 1.o les polaires d’un point quelconque, relatives à toutes ces

Corollaire, Tant de lignes du second ordre qu’on voudra étant inscrites à un même quadrilatère ; 1.o les pôles d’une droite quelconque, relatifs à toutes ces courbes, ap-