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${\frac {\operatorname {d} M}{\operatorname {d} x}}+a{\frac {\operatorname {d} M}{\operatorname {d} y}}=0,\qquad {\frac {\operatorname {d} M'}{\operatorname {d} x}}+a{\frac {\operatorname {d} M'}{\operatorname {d} y}}=0,\qquad$(3)

qui correspondent à deux courbes invariables du $(m-1).^{\mathrm {i{\grave {e}}me} }$ degré et dont le système appartient à $(m-1)^{2}$ points fixes, d’où il suit que les courbes polaires d’un point situé à l’infini, relatives à tant de courbes qu’on voudra du $m.^{\mathrm {i{\grave {e}}me} }$ degré, passant par les $m^{2}$ mêmes points fixes, passent toutes par les $(m-1)^{2}$ mêmes points, également fixes.

Si l’on fait varier la direction de la droite $y=ax,$ ces $(m-1)^{2}$ points décriront une courbe dont on obtiendra l’équation en éliminant la variable $a$ entre les équations (3) ; ce qui donnera celle-ci :

${\frac {\operatorname {d} M}{\operatorname {d} x}}.{\frac {\operatorname {d} M'}{\operatorname {d} y}}-{\frac {\operatorname {d} M}{\operatorname {d} y}}.{\frac {\operatorname {d} M'}{\operatorname {d} x}}=0,\qquad$(4)

laquelle est évidemment du $\left[2(m-1)\right].^{\mathrm {i{\grave {e}}me} }$ degré. Ainsi, les $(m-1)^{2}$ points communs aux courbes polaires d’un point situé à l’infini relatives à tant de courbes qu’on voudra du $m.^{\mathrm {i{\grave {e}}me} }$ degré, passant par les $m^{2}$ mêmes points fixes, décrivent une courbe du $\left[2(m-1)\right].^{\mathrm {i{\grave {e}}me} }$ degré, lorsque ce point décrit une droite également située à l’infini.

En mettant l’équation (2) sous la forme

${\frac {\operatorname {d} M}{\operatorname {d} x}}+\alpha {\frac {\operatorname {d} M'}{\operatorname {d} x}}+a\left\{{\frac {\operatorname {d} M}{\operatorname {d} y}}+\alpha {\frac {\operatorname {d} M'}{\operatorname {d} y}}\right\}=0,\qquad$(5)

on voit, sur-le-champ, que les points polaires d’une droite située à l’infini, relatifs à la courbe (1), sont donnés par le système d’équations

${\frac {\operatorname {d} M}{\operatorname {d} x}}+\alpha {\frac {\operatorname {d} M'}{\operatorname {d} x}}=0,\qquad {\frac {\operatorname {d} M}{\operatorname {d} y}}+\alpha {\frac {\operatorname {d} M'}{\operatorname {d} y}}=0\,;\qquad$(6)