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3. Les points polaires d’une droite seront les $(m-1)^{2}$ points communs aux courbes polaires de tous les points de cette droite[1].

3. Les droites polaires d’un point seront les $(m-1)^{2}$ tangentes communes aux courbes polaires de toutes les droites qui passent par ce point.

Cela posé, considérons deux lignes du $m.^{\mathrm {i{\grave {e}}me} }$ degré ayant respectivement pour équations

$M=0,\qquad M'=0\,;$

en désignant par $\alpha$ une indéterminée, l’équation

$M+\alpha M'=0\qquad$(1)

appartiendra à une troisième courbe, aussi du $m.^{\mathrm {i{\grave {e}}me} }$ degré, passant par les $m^{2}$ points d’intersection des deux premières, quel que soit $\alpha$.

Différentiant cette dernière, et remplaçant ${\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} x}}$ par $a,$ l’équation résultante

${\frac {\operatorname {d} M}{\operatorname {d} x}}+a{\frac {\operatorname {d} M}{\operatorname {d} y}}+\alpha \left\{{\frac {\operatorname {d} M'}{\operatorname {d} x}}+a{\frac {\operatorname {d} M'}{\operatorname {d} y}}\right\}=0,\qquad$(2)

sera celle de la courbe du $(m-1).^{\mathrm {i{\grave {e}}me} }$ degré qui contiendra les points de contact de toutes les tangentes menées à la courbe (1) parallèlement à la droite fixe ayant pour équation

$y=ax.$

Or, cette équation est évidemment vérifiée, quelle que soit la valeur attribuée à lindéterminée $\alpha$, en posant les deux suivantes :

1. Voy. la pag. 153 du présent volume.