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$x^{2}+y^{2}+z^{2}=2ax+b^{2},\qquad b^{2}x^{2}+a^{2}y^{2}=2ab^{2}x\,;$

puis, en faisant $b=ka,$

$x^{2}+y^{2}+z^{2}=a(2x+k),\qquad a\left(y^{2}-2kx\right)+kx^{2}=0\,;$

et enfin, en supposant $a$ infini,

$2x+k=0,\qquad y^{2}=2kx\,;$

c’est-à-dire que, quand la courbe donnée est une parabole, le lieu cherché est le plan perpendiculaire au sien, conduit par sa directrice.

On peut, d’après ce qui précède, établir le théorème suivant :

THÉORÈME III. Lorsqu’un angle trièdre tri-rectangle se meut dans l’espace, de telle sorte que ses trois faces touchent constamment une même ligne fixe du second ordre, son sommet décrit une sphère concentrique à la courbe, laquelle peut d’ailleurs se réduire à un point ou un plan, ou même être imaginaire.

Nous n’avons rien dit du lieu du sommet d’un angle trièdre tri-rectangle mobile, dont les faces sont constamment tangentes à une surface fixe du second ordre, parce qu’il est bien connu que ce lieu est une sphère concentrique à la surface dont il s’agit. Ce théorème, qui est du à Monge et dont M. Poisson a donné une démonstration fort élégante dans la Correspondance sur l’École polytechnique (tom. I, pag. 240), pourrait également se démontrer par les procédés qui précèdent. Il est exactement, par rapport au dernier qui vient d’être démontré, ce qu’est le théorème I, par rapport au théorème II.

En établissant ces trois théorèmes, nous avons eu principalement en vue d’en déduire, à l’aide des principes exposés dans un au-