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faisant la somme de ces équations, en ayant égard aux équations (5) et (6), il viendra, toutes réductions faites, et en changeant respectivement $\alpha ,\beta ,\gamma$ en $x,y,z,$

$x^{2}+y^{2}+z^{2}=a^{2}+b^{2}.\qquad$(27)

Telle est donc l’équation du lieu du sommet d’un angle trièdre tri-rectangle mobile dont les faces touchent constamment une ellipse ayant pour équation

$b^{2}x^{2}+a^{2}y^{2}=a^{2}+b^{2}.\qquad$(28)

On voit que ce lieu est une sphère concentrique à l’ellipse, ayant pour rayon la corde qui joint deux sommets consécutifs de cette ellipse.

Si l’on remplace l’ellipse par une hyperbole ayant pour équation

$b^{2}x^{2}-a^{2}y^{2}=a^{2}+b^{2}\,;$

l’équation du lieu cherché sera

$x^{2}+y^{2}+z^{2}=a^{2}-b^{2}\,;$

ce sera donc encore une sphère concentrique à l’hyperbole proposée, mais dont le rayon sera ${\sqrt {a^{2}-b^{2}}}$ ; de sorte que, si l’hyperbole est équilatère, le lieu demandé se réduira à son centre ; et que, si son axe transverse est le plus petit des deux, il sera impossible que la courbe soit touchée à la fois par les trois faces d’un angle trièdre tri-rectangle.

Si, dans les équations (27) et (28), on change $x$ en $x-a$, elles deviendront