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ces deux équations feront connaître les coordonnées du point ou l’ellipse donnée perce le plan des $tu$ ; on aura donc la coordonnée $t$ de ce point, en éliminant $u$ entre elles, ce qui conduit à l’équation

$b^{2}\left\{q''\alpha -q\gamma +(pq''-qp'')t\right\}^{2}+a^{2}\left\{q''\beta -q'\gamma +(p'q''-q'p'')t\right\}^{2}=q''^{2}a^{2}b^{2}\,;$

c’est-à-dire, en développant et ordonnant,

$\left.{\begin{array}{lc}&\left\{b^{2}(pq''-qp'')^{2}+a^{2}(p'q''-q'p'')^{2}\right\}t^{2}\\\\&2\left\{b^{2}(pq''-qp'')(q''\alpha -q\gamma )+a^{2}(p'q''-q'p'')(q''\beta -q'\gamma )\right\}t\\\\&+\left\{b^{2}(q''\alpha -q\gamma )^{2}+a^{2}(q''\beta -q'\gamma )^{2}-q''^{2}a^{2}b^{2}\right\}\end{array}}\right\}=0,$

si donc l’on veut exprimer que l’ellipse est tangente au plan des $tu,$ il faudra exprimer que cette équation a ses deux racines égales, ce qui donnera

$\left\{b^{2}(pq''-qp'')(q''\alpha -q\gamma )+a^{2}(p'q''-q'p'')(q''\beta -q'\gamma )\right\}^{2}$

$-\left\{b^{2}(pq''-qp'')^{2}+a^{2}(p'q''-q'p'')^{2}\right\}\times$

$\left\{b^{2}(q''\alpha -q\gamma )^{2}+a^{2}(q''\beta -q'\gamma )^{2}-q''^{2}a^{2}b^{2}\right\}=0.$

En développant cette équation, réduisant, ordonnant l’un des deux membres par rapport à $\alpha ,\beta ,\gamma$, et l’autre par rapport à $a$et $b,$ et formant ensuite ses analogues relatives au contact de l’ellipse avec les plans des $uv$ et des $\tau ,$ on aura

$\left\{(p'q''-q'p'')\alpha +(p''q-q''p)\beta +(pq'-qp')\gamma \right\}^{2}$

$=(p'q''-q'p'')a^{2}+(p''q-q''p)b^{2},$

$\left\{(q'r''-r'q'')\alpha +(q''r-r''q)\beta +(qr'-rq')\gamma \right\}^{2}$

$=(q'r''-r'q'')a^{2}+(q''r-r''q)b^{2},$

$\left\{(r'p''-p'r'')\alpha +(r''p-p''r)\beta +(rp'-pr')\gamma \right\}^{2}$

$=(r'p''-p'r'')a^{2}+(r''p-p''r)b^{2},$