ces deux équations feront connaître les coordonnées du point ou l’ellipse donnée perce le plan des
; on aura donc la coordonnée
de ce point, en éliminant
entre elles, ce qui conduit à l’équation
![{\displaystyle b^{2}\left\{q''\alpha -q\gamma +(pq''-qp'')t\right\}^{2}+a^{2}\left\{q''\beta -q'\gamma +(p'q''-q'p'')t\right\}^{2}=q''^{2}a^{2}b^{2}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f1567bdd1be3d93d2d1af434f177df3d59075711)
c’est-à-dire, en développant et ordonnant,
![{\displaystyle \left.{\begin{array}{lc}&\left\{b^{2}(pq''-qp'')^{2}+a^{2}(p'q''-q'p'')^{2}\right\}t^{2}\\\\&2\left\{b^{2}(pq''-qp'')(q''\alpha -q\gamma )+a^{2}(p'q''-q'p'')(q''\beta -q'\gamma )\right\}t\\\\&+\left\{b^{2}(q''\alpha -q\gamma )^{2}+a^{2}(q''\beta -q'\gamma )^{2}-q''^{2}a^{2}b^{2}\right\}\end{array}}\right\}=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b946c7f759698f91532104459c18ad00f89d9cbd)
si donc l’on veut exprimer que l’ellipse est tangente au plan des
il faudra exprimer que cette équation a ses deux racines égales, ce qui donnera
![{\displaystyle \left\{b^{2}(pq''-qp'')(q''\alpha -q\gamma )+a^{2}(p'q''-q'p'')(q''\beta -q'\gamma )\right\}^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b560fae2499bd0bf8926306ce149c9e071b7744c)
![{\displaystyle -\left\{b^{2}(pq''-qp'')^{2}+a^{2}(p'q''-q'p'')^{2}\right\}\times }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1deeb96e206870a17aa838cbaadab984ccdb71b9)
![{\displaystyle \left\{b^{2}(q''\alpha -q\gamma )^{2}+a^{2}(q''\beta -q'\gamma )^{2}-q''^{2}a^{2}b^{2}\right\}=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8ad16f11eb859beadec4858104bb51f23f8c9d46)
En développant cette équation, réduisant, ordonnant l’un des deux membres par rapport à
, et l’autre par rapport à
et
et formant ensuite ses analogues relatives au contact de l’ellipse avec les plans des
et des
on aura
![{\displaystyle \left\{(p'q''-q'p'')\alpha +(p''q-q''p)\beta +(pq'-qp')\gamma \right\}^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5c29f3ed23f0156857de30a5f10622a6cf1fc11d)
![{\displaystyle =(p'q''-q'p'')a^{2}+(p''q-q''p)b^{2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d452063c9909cf37dbbfabc4842c7d8588830c4e)
![{\displaystyle \left\{(q'r''-r'q'')\alpha +(q''r-r''q)\beta +(qr'-rq')\gamma \right\}^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/23129aa02e722a5ad198f3000f8c936ad70329de)
![{\displaystyle =(q'r''-r'q'')a^{2}+(q''r-r''q)b^{2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1c55bf814abb02c253d0acd5c81983dc26648946)
![{\displaystyle \left\{(r'p''-p'r'')\alpha +(r''p-p''r)\beta +(rp'-pr')\gamma \right\}^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d0f39cfc9f37a973121fa976f6442e583fad1ea9)
![{\displaystyle =(r'p''-p'r'')a^{2}+(r''p-p''r)b^{2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0e37a7b3ae8176925be179c952d7a56d267ae2c3)