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la section perpendiculaire à ses élémens rectilignes est cette hyperbole elle-même.

Si, dans les équations (25) et (26), on fait $b=ma,$ elles deviendront

$m^{2}x^{2}-y^{2}=m^{2}a^{2}s,\qquad m^{2}x^{2}s-y^{2}-\left(1-m^{2}\right)z^{2}=m^{2}a^{2}\,;$

puis, en supposant $a=0$,

$(y-mx)(y+mx)=0,\qquad m^{2}x^{2}-y^{2}-(1-m^{2})z^{2}=0.$

On voit par là que, si l’hyperbole proposée se réduit au système de deux droites qui se coupent, la surface cherchée se réduira à une surface conique du second ordre ; ce qui revient encore à dire que l’arête d’un angle droit dièdre mobile, dont les faces passent constamment par deux droites qui se coupent, décrit dans l’espace une surface conique du second ordre ; théorème déjà démontré par M. Hachette qui a démontré, en outre, que les plans des deux séries de sections circulaires qu’on peut faire dans cette surface conique sont respectivement perpendiculaires aux deux droites.

Si, dans les équations (22) et (24), on change $x$ en $(x-a),$ ce qui revient à transporter l’origine au sommet négatif du grand axe de l’ellipse, elles deviendront

$b^{2}x^{2}+a^{2}y^{2}=2ab^{2}x,\qquad b^{2}x^{2}+a^{2}y^{2}+\left(a^{2}+b^{2}\right)z^{2}=2ab^{2}x.$

Posant ensuite $b^{2}=ka,$ et simplifiant, on aura

$a(y^{2}-2kx)+kx^{2}=0,$