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voit, un ellipsoïde qui a pour deux de ses axes les deux axes mêmes de l’ellipse proposée, et dont le demi-troisième axe est ${\frac {ab}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}.$ Son troisième axe est évidemment plus petit que chacun des deux autres, car on a

$a^{2}-{\frac {a^{2}b^{2}}{a^{2}+b^{2}}}={\frac {a^{4}}{a^{2}+b^{2}}},\qquad b^{2}-{\frac {a^{2}b^{2}}{a^{2}+b^{2}}}={\frac {b^{4}}{a^{2}+b^{2}}}\,;$

quantités essentiellement positives. Ce demi-axe est égal à la perpendiculaire abaissée du centre de l’ellipse sur la corde qui en joint deux sommets consécutifs. On voit par là que, lors même que cette ellipse devient un cercle, l’ellipsoïde ne devient point une sphère, mais seulement un sphéroïde aplati.

Supposons, en second lieu, que la courbe donnée du second ordre, toujours située dans le plan des $xy,$ soit une hyperbole ayant pour équations

$b^{2}x^{2}-a^{2}y^{2}=a^{2}b^{2},\qquad z=0\,;\qquad$(25)

comme ces équations se déduisent des équations (22) en y changeant simplement $+b^{2}$ en $-b^{2},$ l’équation de la surface cherchée se déduira alors d’un pareil changement fait dans l’équation (24), qui deviendra ainsi

$b^{2}x^{2}-a^{2}y^{2}-\left(a^{2}-b^{2}\right)z^{2}=a^{2}b^{2}\,;\qquad$(26)

c’est l’équation d’une hyperboloïde à deux nappes ou à une nappe unique, suivant que $a$ est plus grand ou plus petit que $b$ ; c’est-à-dire, suivant que l’axe transverse de l’hyperbole proposée est le plus grand ou le plus petit des deux. Dans l’un et dans l’autre cas, l’hyperbole proposée est toujours une des sections principales de cette surface. Dans le cas particulier où l’hyperbole proposée est équilatère, la surface cherchée est un cylindre hyperbolique dont