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Solution. Soit d’abord cette courbe une ellipse située dans le plan des $xy$ et donnée par les deux équations

$b^{2}x^{2}+a^{2}y^{2}=a^{2}b^{2},\qquad z=0\,;\qquad$(22)

en y substituant les formules (2), dans lesquelles $\alpha ,\beta ,\gamma$ seront toujours, comme alors, les coordonnées du sommet de l’angle, elles deviendront

$\left.{\begin{aligned}&b^{2}(\alpha +pt+qu+rv)^{2}+a^{2}(\beta +p't+q'u+r'v)^{2}=a^{2}b^{2},\\\\&\qquad \qquad \qquad \qquad \gamma +p''t+q''u+r''v=0.\end{aligned}}\right\}\quad$(23)

Pour que cette courbe rencontre l’axe des $t,$ qui est ici une des arêtes de l’angle trièdre tri-rectangle, il faut qu’en faisant $u$ et $v$ égaux à zéro, dans ses équations, les équations résultantes

$b^{2}(\alpha +pt)^{2}+a^{2}(\beta +p't)^{2}=a^{2}b^{2},\qquad \gamma +p''t=0,$

admettent une même valeur de $t,$ de sorte que $t$ puisse être éliminé entre elles. Exécutant donc l’élimination, et formant les équations analogues, relatives à $u$ et $v$, on aura

${\begin{aligned}&b^{2}(p''\alpha -p\gamma )^{2}+a^{2}(p''\beta -p'\gamma )^{2}=p''^{2}a^{2}b^{2},\\\\&b^{2}(q''\alpha -q\gamma )^{2}+a^{2}(q''\beta -q'\gamma )^{2}=q''^{2}a^{2}b^{2},\\\\&b^{2}(r''\alpha -r\gamma )^{2}+a^{2}(r''\beta -r'\gamma )^{2}=r''^{2}a^{2}b^{2}.\end{aligned}}$

En prenant la somme de ces équations, et ayant égard aux équations (5) et (6), il viendra, en changeant respectivement $\alpha ,\beta ,\gamma$ en $x,y,z,$

$b^{2}x^{2}+a^{2}y^{2}+\left(a^{2}+b^{2}\right)z^{2}=a^{2}b^{2}.\qquad$(24)

Telle est donc l’équation de la surface demandée. C’est, comme l’on