La première de ces équations est celle de la surface proposée ; la seconde est celle du lieu du sommet de l’angle trièdre tri-rectangle mobile dont les trois arêtes touchent constamment cette surface.
L’équation (20) appartient à une paraboloïde elliptique ou à une paraboloïde hyperbolique, suivant que, et à sont des mêmes signes ou de signes contraires. Dans l’un comme dans l’autre cas, l’équation (20) appartient à une paraboloïde de révolution, dont le paramètre est la somme ou la différence des paramètres des sections principales de la surface proposée.
On peut, d’après ce qui précède, établir le théorème suivant, sur lequel nous reviendrons plus loin :
THÉORÈME I. Lorsqu’un angle trièdre tri-rectangle se meut, dans l’espace, de telle sorte que ses trois arêtes sont constamment tangentes à une même surface fixe ; 1.o si cette surface est un ellipsoïde, le sommet de l’angle trièdre décrira un autre ellipsoïde, dont le centra et les axes coïncideront avec ceux du premier ; 2.o si cette surface est une sphère, l’autre sera également une sphère qui lui sera concentrique ; 3.o si un angle droit trièdre mohile a ses faces constamment tangentes à une surface conique du second ordre, son arête décrira une autre surface conique du second ordre dont le sommet, l’axe et les plans principaux coïncideront avec le sommet, l’axe et les plans principaux de la première ; 4.o enfin, si les trois arêtes d’un angle trièdre tri-rectangle mobile sont constamment tangentes à une hyperboloïde de révolution à deux nappes, engendrée par une hyperhole équilatère, tournant autour de son axe transverse, le sommet de cet angle trièdre décrira les plans polaires des foyers de l’hyperboloïde.
PROBLÈME II. Quel est le lieu du sommet d’un angle trièdre tri-rectangle mobile dont les arêtes s’appuient constamment sur une courbe plane du second ordre ?
