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longueurs, une hyperboloïde à une nappe, si $c$ est compris entre ces deux longueurs, un cylindre hyperbolique, si $c$ est égal à la plus grande, enfin une nouvelle hyperboloïde à deux nappes, si $c$ est plus grand que la plus grande.

Il est aisé de voir d’ailleurs que, si la surface (18) est de révolution, la surface (19) le sera aussi. Si, en outre, on a $c=a=b,$ c’est-à-dire, si la surface proposée est engendrée par la révolution d’une hyperbole équilatère autour de son axe transverse, le lieu cherché se réduira à deux plans parallèles, lesquels ne seront autre chose que les plans polaires des deux foyers.

Passons enfin au cas où la surface proposée est dépourvue de centre et, pour cela, transportons l’origine d’abord au sommet négatif situé sur l’axe des $z$, ce qui se réduira à changer $z$ en $z-c,$ dans les équations (1) et (14), lesquelles deviendront ainsi

$b^{2}c^{2}x^{2}+c^{2}a^{2}y^{2}+a^{2}b^{2}(z-c)^{2}=a^{2}b^{2}c^{2},$

$(b^{2}+c^{2})x^{2}+(c^{a}+2a^{2})y^{2}+(a^{2}+b^{2})(z-c)^{2}=b^{2}c^{2}+c^{2}a^{2}+a^{2}b^{2}.$

Posant ensuite

$a^{2}=gc,\qquad b^{2}=hc,$

ces équations deviendront, en réduisant,

$c\left(hx^{2}+gy^{2}-2ghz\right)+ghz^{2}=0,$

$c\left\{x^{2}+y^{2}-2(g+h)z-gh\right\}+\left\{hx^{2}+gy^{2}+(g+h)z^{2}\right\}=0\,;$

supposant alors $c=\infty ,$ il viendra

$hx^{2}+gy^{2}=2ghz,\qquad$(20)

$x^{2}+y^{2}=2(g+h)z+gh.\qquad$(21)