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Si l’on a $c>b$ et $c<a,$ l’équation (15) pourra être écrite ainsi

$\left(c^{2}-b^{2}\right)x^{2}-\left(a^{2}-c^{2}\right)y^{2}-\left(a^{2}+b^{2}\right)z^{2}=c^{2}\left(a^{2}+b^{2}\right)-a^{2}b^{2}\,;$

elle exprimera alors une hyperboloïde à deux nappes.

Si l’on a enfin $c=a$ et par suite $c>b,$ l’équation (15) pourra être écrite ainsi

$\left(a^{2}-b^{2}\right)x^{2}-\left(a^{2}+b^{2}\right)z^{2}=a^{4}\,;$

elle exprimera un cylindre hyperbolique.

Si l’on a $c>a$ et par suite $c>b,$ l’équation (15) pourra être écrite ainsi

$\left(c^{2}-b^{2}\right)x^{2}+\left(c^{2}-a^{2}\right)y^{2}-\left(a^{2}+b^{2}\right)z^{2}=c^{2}\left(a^{2}+b^{2}\right)-a^{2}b^{2},$

qui exprimera une autre hyperboloïde à une nappe.

Posons, dans l’équation (14), $a=mc,b=nc,$ elle deviendra, en divisant par $c^{4},$ et en posant ensuite $c=0$,

$n^{2}x^{2}+m^{2}y^{2}-m^{2}n^{2}z^{2}=0\,;\qquad$(16)

équation d’une surface conique du second ordre. En faisant les mêmes transformations dans l’équation (15), elle deviendra

$\left(n^{2}-1\right)x^{2}+\left(m^{2}-1\right)y^{2}+\left(m^{2}+n^{2}\right)z^{2}=0\,;\qquad$(17)

équation d’une autre surface conique du second ordre dont le sommet et les axes coïncident avec le sommet et les axes de la première, et qui sera alors le lieu cherché ; ce qui revient encore à dire que le lieu de l’arête d’un angle droit dièdre mobile, dont les faces sont constamment tangentes à une même surface conique du second ordre, est une autre surface conique.

En retranchant l’équation (17) de l’équation (16), il vient

$x^{2}+y^{2}=\left(m^{2}+n^{2}+m^{2}n^{2}\right)z^{2}\,;$