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$b^{2}-c^{2},a^{2}-c^{2}$ et le second membre seront tous trois positifs ; de sorte que la surface cherchée sera un ellipsoïde.

Si l’on a

$a^{2}b^{2}=c^{2}\left(a^{2}+b^{2}\right),$

on en conclura

$b^{2}-c^{2}={\frac {b^{2}c^{2}}{a^{2}}},\qquad a^{2}-c^{2}={\frac {a^{2}c^{2}}{b^{2}}}\,;$

au moyen de quoi l’équation (15) deviendra

$b^{4}c^{4}x^{2}+c^{4}a^{4}y^{2}+a^{4}b^{4}z^{2}=0\,;$

de sorte qu’alors le lieu cherché se réduira à un point ou au centre de l’hyperboloïde.

Si l’on a enfin

$a^{2}b^{2}<c^{2}\left(a^{2}+b^{2}\right),$

d’où résultera

$b^{2}-c^{2}<{\frac {b^{2}c^{2}}{a^{2}}},\qquad a^{2}-c^{2}<{\frac {a^{2}c^{2}}{b^{2}}},$

$b^{2}-c^{2}$ et $a^{2}-c^{2}$ pourront être indistinctement positifs, nuls ou négatifs.

Soit alors $a>b\,;\ c$ pourra être moindre que $b$, ou égal à $b,$ ou compris entre $a$ et $b$, ou égal à $a$, ou enfin plus grand que $a$.

Si l’on a $c<b$ et conséquemment $c<a,$ l’équation (15) sera absurde, c’est-à-dire, qu’aucun angle trièdre tri-rectangle ne pourra remplir la condition exigée.

Si l’on a $c=b,$ et par suite $c<a,$ l’équation (15) sera encore absurde, car elle deviendra

$(a^{2}-b^{2})y^{2}+(a^{2}+b^{2})z^{2}+b^{4}=0.$