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Si l’un des axes de l’ellipsoïde proposé devient infini, c’est-à-dire, si cet ellipsoïde devient un cylindre elliptique, une des hauteurs du triangle deviendra infinie, tandis que les deux autres, toujours finies, deviendront égales ; la surface cherchée sera donc, dans ce cas, un cylindre de révolution ; d’où l’on pourrait conclure, s’il en était besoin, que le lieu du sommet d’un angle droit mobile sur un plan, constamment circonscrit à une ellipse, est la circonférence d’un cercle.

Si enfin deux des axes de l’ellipsoïde devenaient infinis, c’est-à-dire, si cet ellipsoïde devenait un cylindre parabolique ; les trois hauteurs du triangle deviendraient également infinies ; de sorte que la surface demandée serait plane. On pourrait conclure de là, s’il était nécessaire, que le lieu du sommet d’un angle droit mobile sur un plan, constamment circonscrit à une parabole, est une ligne droite.

Supposons présentement que la surface donnée du second ordre soit un hyperboloïde à une nappe, ayant pour équation

$b^{2}c^{2}x^{2}+c^{2}a^{2}y^{2}-a^{2}b^{2}z^{2}=a^{2}b^{2}c^{2}\,;\qquad$(14)

cette équation pouvant être déduite de l’équation (1), par le simple changement de $c^{2}$ en $-c^{2}$, on déduira de l’équation (13), par un pareil changement, l’équation de la surface demandée qui répond à ce cas. Cette équation sera donc

$\left(b^{2}-c^{2}\right)x^{2}+\left(a^{2}-c^{2}\right)y^{2}+\left(a^{2}+b^{2}\right)z^{2}=a^{2}b^{2}-c^{2}\left(a^{2}+b^{2}\right).$ (15)

Cela posé, $a$ et $b$ étant supposés inégaux, si l’on a

$a^{2}b^{2}>c^{2}\left(a^{2}+b^{2}\right),$

il en résultera

$b^{2}-c^{2}>{\frac {b^{2}c^{2}}{a^{2}}},\qquad a^{2}-c^{2}>{\frac {a^{2}c^{2}}{b^{2}}},$