Page:Annales de mathématiques pures et appliquées, 1827-1828, Tome 18.djvu/241

comme l’on voit, est un ellipsoïde dont le centre et les diamètres principaux coïncident avec le centre et les diamètres principaux de l’ellipsoïde proposé.

Soit $s$ le double de l’aire du triangle dont les sommets sont les extrémités positives des trois diamètres principaux de l’ellipsoïde proposé ; les carrés des trois côtés de ce triangle seront évidemment $b^{2}+c^{2},c^{2}+a^{2},a^{2}+b^{2}.$ Soient $g,h,k$ les hauteurs correspondantes à ces côtés, pris respectivement pour bases, on aura

$g^{2}\left(b^{2}+c^{2}\right)=S^{2},\qquad h^{2}\left(c^{2}+a^{2}\right)=S^{2},\qquad k^{2}\left(a^{2}+b^{2}\right)=S^{2}.$

Les doubles des projections de l’aire de ce triangle, sur les trois plans coordonnés, seront respectivement $bc,ca,ab$ ; d’où on conclura, en vertu d’un théorème connu,

$b^{2}c^{2}+c^{2}a^{2}+a^{2}b^{2}=S^{2}.$

Substituant donc dans l’équation (13), et divisant par $S^{2},$ elle deviendra

$\left({\frac {x}{g}}\right)^{2}+\left({\frac {y}{h}}\right)^{2}+\left({\frac {z}{k}}\right)^{2}=1\,;$

ce qui prouve que les demi-diamètres principaux de l’ellipsoïde, lieu du sommet de l’angle trièdre mobile, ne sont autre chose que les trois hauteurs du triangle dont il vient d’être question.

Si l’ellipsoïde proposé est de révolution, ce triangle sera isocèle ; deux de ses hauteurs seront donc égales ; l’ellipsoïde, lieu des sommets de l’angle trièdre mobile, aura donc deux de ses trois diamètres principaux égaux entre eux ; ce sera donc aussi un ellipsoïde de révolution.

Si l’ellipsoïde proposé devient une sphère, le triangle en question deviendra équilatéral, et, par suite, la surface cherchée sera également sphérique.