du triangle sera tel que la somme algébrique de ses distances aux trois côtés du triangle sera nulle. Ce sera donc là un des points de la droite cherchée. Or, on peut construire trois pareils points sur le plan du triangle ; ainsi la droite cherchée sera entièrement déterminée.
Et de là résulte ce théorème :
14. THÉORÈME III. Les points, où les trois côtés d’un triangle sont coupés par les droites qui divisent en deux parties égales les supplémens des angles respectivement opposés, appartiennent tous trois à une même droite, telle que la somme algébrique-des distances de chacun de ses points aux trois côtés du triangle est nulle.
15. Remarque. Lorsque le triangle est équilatéral, cette droite passe à l’infini.
16. PROBLÈME IV. Construire dans l’espace un plan tel que la somme algébrique des distances de chacun de ses points aux quatre faces d’un tétraèdre soit nulle ?
Solution. Si, par l’un quelconque des arêtes du tétraèdre, on conduit un plan qui divise en deux parties égales le supplément de l’angle dièdre auquel cette arête appartient, la somme algébrique des distances de chacun des points de ce plan aux deux faces de l’angle dièdre sera évidemment nulle ; de sorte que la somme des distances de chacun des points de ce plan aux quatre faces du tétraèdre sera simplement égale à la Somme des distances du même point aux deux faces restantes du tétraèdre. Si l’on en fait de même pour l’angle dièdre auquel appartient l’arête opposée, on obtiendra un second plan tel que la somme algébrique des distances de chacun de ses points aux quatre faces du tétraèdre sera simplement égale à la somme des distances du même point aux deux premières faces de ce tétraèdre ; donc, la somme algébrique des distances de chacun des points de l’intersection de ces deux plans aux quatre faces du tétraèdre sera nulle ; et, par conséquent, cette intersection sera située dans le plan cherché. Or, le tétraèdre offre trois pareilles droites ; ainsi le plan cherché sera entièrement déterminé.
