Le plan pourrait donc être tout-à-fait extérieur à ce tétraèdre, mais il n’en jouirait pas moins de la propriété annoncée, pourvu que l’on prit toujours les quatre distances avec des signes convenables.
8. Remarque III. Si deux des faces du tétraèdre étaient égales à la face c’est-à-dire, si le tétraèdre était isocèle, le plan se confondrait avec la face restante ; et, si le tétraèdre était régulier, tout plan conduit par le sommet résoudrait le problème ; et, comme tout point de l’epace peut être supposé appartenir à un tel plan, il en résulte ce théorème connu : La somme algébrique des distances de chacun des points de l’espace aux plans des quatre faces d’un tétraèdre régulier est une quantité constante. Il est visible d’ailleurs que cette quantité constante n’est autre que la hauteur du tétraèdre, puisque c’est à elle seule que se réduit la somme des quatre distances, lorsque le point de l’espace que l’on considère est un des sommets.
9. THÉORÈME I. Toute parallèle à une droite tracée sur le plan d’un triangle, de manière que la somme algébrique des distances de chacun de ses points aux trois côtés du triangle est une quantité constante, jouit également de cette propriété ; et elle en jouit exclusivement entre toutes les droites qui peuvent être tracées dans le plan de ce triangle.
Démonstration. Soit (fig« 3) une droite tracée sur le plan d’un triangle de manière qu’on ait, comme ci-dessus, ; et soit une parallèle quelconque à coupant les côtés et respectivement, en et Soit un quelconque des points de compris entre les points et et soit menées et et
L’aire du quadrilatère est indépendante de la situation du point entre et , et il en est de même de l’aire du triangle il en sera donc de même de l’excès de la première surface sur la seconde. Or, cet excès est la somme des aires des trois triangles laquelle a pour expression
