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$36\left({\sqrt[{3}]{\Delta +T}}-{\sqrt[{3}]{\Delta }}\right)\left({\sqrt[{3}]{\Delta +T'}}-{\sqrt[{3}]{\Delta }}\right)\left({\sqrt[{3}]{\Delta +T''}}-{\sqrt[{3}]{\Delta }}\right)\times$

$\left({\sqrt[{3}]{\Delta +T'''}}-{\sqrt[{3}]{\Delta }}\right)={\sqrt[{3}]{36PP'P''P'''}}.\quad$(V)

En égalant entre eux les seconds membres des équations (11), on obtient la triple équation

$P\left({\sqrt[{3}]{\Delta +T}}-{\sqrt[{3}]{\Delta }}\right)=P'\left({\sqrt[{3}]{\Delta +T'}}-{\sqrt[{3}]{\Delta }}\right)=P''\left({\sqrt[{3}]{\Delta +T''}}-{\sqrt[{3}]{\Delta }}\right)$

$=P'''\left({\sqrt[{3}]{\Delta +T'''}}-{\sqrt[{3}]{\Delta }}\right).\quad$(VI)

On tire enfin facilement des équations (IV) la triple équation

$PP'(p''p''')+P''P'''(p'p')=PP''(p'''p')+P'''P'(pp')$

$=PP'''(p'p'')+P'P''(pp''').\qquad$(VII)

Toutes ces diverses relations, en y supposant $\Delta$ nul, deviennent celles du théorème V (pag. 121) ainsi que cela doit être.

Dans tout ce qui précède, nous avons formellement supposé que le triangle ou le tétraèdre intérieur étaient tournés dans le même sens que le triangle ou le tétraèdre à partager ; et c’est qu’en effet, lorsqu’ils sont tournés en sens inverse, les formules sont fort compliquées et peu maniables. Bornons-naus donc à une indication sommaire de ce qui arrive dans ce cas.

I. Pour le triangle, les sept parties sont :

1.^o Le triangle intérieur $\Delta$ ;

2.^o Trois autres triangles $T,T',T'';$

3.^o Enfin trois pentagones ou troncs de parallélogrammes $P,P',P'',$ respectivement opposés.

Par des considérations analogues à celles que nous avons employées ci-dessus, on trouve, entre ces sept parties, trois équations de la forme

$\Delta +P=2\left({\sqrt {T+T''+P'}}-{\sqrt {T}}\right)\left({\sqrt {T+T'+P''}}-{\sqrt {T}}\right).$

s

 Les corrections sont expliquées en page de discussion

Correction (ligne 1) : « $\left({\sqrt[{3}]{\Delta +T'}}-{\sqrt[{3}]{T'}}\right)$ » → « $\left({\sqrt[{3}]{\Delta +T'}}-{\sqrt[{3}]{\Delta }}\right)$ » (coquille)