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Annales de mathématiques pures et appliquées, 1827-1828, Tome 18.djvu/217
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Δ
+
T
″
=
(
Δ
3
+
δ
″
3
)
3
,
{\displaystyle \Delta +T''=\left({\sqrt[{3}]{\Delta }}+{\sqrt[{3}]{\delta ''}}\right)^{3},}
Δ
+
T
‴
=
(
Δ
3
+
δ
‴
3
)
3
;
{\displaystyle \Delta +T'''=\left({\sqrt[{3}]{\Delta }}+{\sqrt[{3}]{\delta '''}}\right)^{3}\,;}
puis sous celle-ci
Δ
+
T
′
3
=
Δ
3
+
Δ
δ
′
3
,
Δ
+
T
″
3
=
Δ
3
+
Δ
δ
″
3
,
Δ
+
T
‴
3
=
Δ
3
+
Δ
δ
‴
3
;
{\displaystyle {\begin{aligned}{\sqrt[{3}]{\Delta +T'}}\ \,&={\sqrt[{3}]{\Delta }}+{\sqrt[{3}]{\Delta \delta '}},\\{\sqrt[{3}]{\Delta +T''}}\,&={\sqrt[{3}]{\Delta }}+{\sqrt[{3}]{\Delta \delta ''}},\\{\sqrt[{3}]{\Delta +T'''}}&={\sqrt[{3}]{\Delta }}+{\sqrt[{3}]{\Delta \delta '''}}\,;\end{aligned}}}
ce qui donne
δ
′
=
(
Δ
+
T
′
3
−
Δ
3
)
3
,
δ
″
=
(
Δ
+
T
″
3
−
Δ
3
)
3
,
δ
‴
=
(
Δ
+
T
‴
3
−
Δ
3
)
3
.
}
{\displaystyle \left.{\begin{aligned}\delta '\ \,&=\left({\sqrt[{3}]{\Delta +T'}}-{\sqrt[{3}]{\Delta }}\right)^{3},\\\delta ''\,&=\left({\sqrt[{3}]{\Delta +T''}}-{\sqrt[{3}]{\Delta }}\right)^{3},\\\delta '''&=\left({\sqrt[{3}]{\Delta +T'''}}-{\sqrt[{3}]{\Delta }}\right)^{3}.\end{aligned}}\right\}\quad }
(9)
En substituant ces valeurs dans les équations (7), on en tire
Π
′
=
(
p
p
′
)
−
3
{
(
Δ
+
T
″
3
−
Δ
3
)
(
Δ
+
T
‴
3
−
Δ
3
)
}
×
(
Δ
+
T
″
3
−
Δ
3
)
(
Δ
+
T
‴
3
−
Δ
3
)
,
Π
″
=
(
p
p
″
)
−
3
{
(
Δ
+
T
‴
3
−
Δ
3
)
(
Δ
+
T
′
3
−
Δ
3
)
}
×
(
Δ
+
T
‴
3
−
Δ
3
)
(
Δ
+
T
′
3
−
Δ
3
)
,
Π
‴
=
(
p
p
‴
)
−
3
{
(
Δ
+
T
′
3
−
Δ
3
)
(
Δ
+
T
″
3
−
Δ
3
)
}
×
(
Δ
+
T
′
3
−
Δ
3
)
(
Δ
+
T
″
3
−
Δ
3
)
,
}
{\displaystyle \left.{\begin{aligned}&\Pi '=(pp')-3\left\{\left({\sqrt[{3}]{\Delta +T''}}-{\sqrt[{3}]{\Delta }}\right)\left({\sqrt[{3}]{\Delta +T'''}}-{\sqrt[{3}]{\Delta }}\right)\right\}\times \\&\qquad \qquad \qquad \qquad \left({\sqrt[{3}]{\Delta +T''}}-{\sqrt[{3}]{\Delta }}\right)\left({\sqrt[{3}]{\Delta +T'''}}-{\sqrt[{3}]{\Delta }}\right),\\\\&\Pi ''=(pp'')-3\left\{\left({\sqrt[{3}]{\Delta +T'''}}-{\sqrt[{3}]{\Delta }}\right)\left({\sqrt[{3}]{\Delta +T'}}-{\sqrt[{3}]{\Delta }}\right)\right\}\times \\&\qquad \qquad \qquad \qquad \left({\sqrt[{3}]{\Delta +T'''}}-{\sqrt[{3}]{\Delta }}\right)\left({\sqrt[{3}]{\Delta +T'}}-{\sqrt[{3}]{\Delta }}\right),\\\\&\Pi '''=(pp''')-3\left\{\left({\sqrt[{3}]{\Delta +T'}}-{\sqrt[{3}]{\Delta }}\right)\left({\sqrt[{3}]{\Delta +T''}}-{\sqrt[{3}]{\Delta }}\right)\right\}\times \\&\qquad \qquad \qquad \qquad \left({\sqrt[{3}]{\Delta +T'}}-{\sqrt[{3}]{\Delta }}\right)\left({\sqrt[{3}]{\Delta +T''}}-{\sqrt[{3}]{\Delta }}\right),\end{aligned}}\right\}}
(10)