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$P(\left({\sqrt {\Delta +T}}-{\sqrt {\Delta }}\right)=P'\left({\sqrt {\Delta +T'}}-{\sqrt {\Delta }}\right)=P''\left({\sqrt {\Delta +T''}}-{\sqrt {\Delta }}\right).$ (IV)

On obtient enfin, en égalant entre elles les valeurs des radicaux, dans les équations (II),

$2PT-P'P''=2P'T'-P''P=2P''T''-PP'\,;\qquad$(V)

équations délivrées de $\Delta .$

Si, dans ces divers résultats, on suppose $\Delta =0,$ on retombe sur les relations obtenues théorème III (pag. 114), comme cela doit être.

PROBLÈME II. Dans l’intérieur d’un tétraèdre, on en a construit un autre dont les faces sont respectivement parallèles aux siennes, et qui est tourné dans le même sens que lui. Les faces du tétraèdre intérieur, prolongées jusqu’à la surface de l’autre, partagent celui-ci en quinze parties. Quelles sont les relations diverses qui existent entre ces parties ?

Solution. Les quinze parties du tétraèdre divisé sont :

1.^o Le tétraèdre intérieur que nous représenterons par $\Delta$ ;

2.^o Quatre parallélipipèdes, que nous représenterons par $P,P',P'',P'''$ ;

3.^o Quatre troncs de tétraèdres, à bases parallèles, respectivement opposés, que nous représenterons par $T,T',T'',T''';$

4.^o Enfin, six troncs de parallélipipède, que nous représenterons respectivement par $(pp'),(pp''),(pp'''),(p''p'''),(p'''p'),(p'p''),$ suivant les parallélipipèdes entre lesquels ils se trouveront situés.

Par celui des quatre sommets du tétraèdre $\Delta$ qui lui est commun avec le parallélipipède $P,$ concevons un plan parallèle à celui de la face opposée ; ce plan divisera respectivement, savoir :

1.^o Les troncs de parallélipipèdes $(pp'),(pp''),(pp''')$ en trois parallélipipèdes $\Pi ',\Pi '',\Pi ''',$ et en trois troncs de prismes quadrangulaires, ayant une arête latérale nulle, que nous désignerons par $(p\varpi '),(p\varpi ''),$$(p\varpi ''')\,;$