les, la relation correspondante entre les distances du même centre aux faces, arêtes et sommets d’un autre polyèdre, polaire réciproque de celui-là. Ces deux polyèdres auront évidemment un égal nombre d’arêtes, et chacun d’eux aura autant de sommets trièdres, tétraèdres, pentaèdres, …, que l’autre aura des faces triangulaires, quadrangulaires, pentagonales, ….
En raisonnant ici comme nous l’avons fait ci-dessus (3), on reconnaîtra aisément que le lieu des pieds des perpendiculaires abaissées du centre de la sphère directrice sur tous les plans tangens à la polaire réciproque d’une autre sphère, est une sphère décrite sur le grand axe de cette polaire pris pour diamètre. Cette dernière sphère se réduit d’ailleurs au plan tangent au sommet, lorsque la surface polaire est un paraboloïde.
On reconnaît par là que la polaire réciproque d’une sphère, par rapport à une autre sphère directrice, est une surface de révolution du second ordre, ayant pour foyer le centre même de la sphère directrice. Voici, au surplus, un autre moyen de parvenir à cette conclusion.
Lorsqu’une surface cylindrique est circonscrite à une sphère, la ligne de contact est plane et perpendiculaire aux génératrices rectilignes de cette surface. En passant donc de cette sphère à sa polaire réciproque, cette propriété se transformera dans la suivante :
Si un cône circonscrit à la polaire réciproque d’une sphère a son sommet dans le plan polaire de son centre, le plan de la ligne de contact passera par le centre de la sphère directrice et se trouvera perpendiculaire à la droite qui unit ce point au sommet du cône.
Or, le centre de la sphère directrice et le plan polaire du centre de l’autre sphère ne peuvent jouir d’une telle propriété, à l’égard de la polaire réciproque de cette dernière, à moins que ce point et ce plan n’en soient le foyer et le plan directeur.
Donc, la polaire réciproque d’une sphère, par rapport à une autre sphère, est une surface de révolution du second ordre, qui a
