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en est de même de quatre droites harmoniques et de leurs polaires conjuguées.

Il est connu que, si $a,b,c,d$ sont les sommets consécutifs d’un quadrilatère gauche, et qu’une surface du second ordre coupe le côté $ab$ en $e$ et $f,$ le côté $bc$ en $g$ et $h,$ le côté $cd$ en $i$ et $k,$ le côté $da$ en $l$ et $m,$ on aura

$ae.af.bg.bh.ci.ck.dl.dm=be.bf.cg.ch.di.dk.al.am\,;$

et, parce que cette relation est de nature projective, on en déduira la suivante :

Soient $a,b,c,d$ les quatre faces d’un angle polyèdre gauche. Soit une surface du second ordre à laquelle soient menés deux plans tangens $e$ et $f$ par l’arête $(ab),$ deux plans tangens $g$ et $h$ par l’arête $(bc),$ deux plans tangens $i$ et $k$ par l’arête $(cd),$ et enfin deux plans tangens $l$ et $m$ par l’arête $(da).$ Si l’on désigne respectivement par $a',b',c',d',e',f',g',h',i',j',k',l'$ les points où ces douze plans coupent une transversale rectiligne quelconque, on aura

$a'e'.a'f'.b'g'.b'h'.c'i'.c'k'.d'l'.d'm'=b'e'.b'f'.c'g'.c'h'.d'i'.d'k'.a'l'.a'm'.$

9. Soit $r$ le rayon d’une sphère directrice. Soit $d$ la distance de son centre à un point, une droite ou un plan ; et soit $d'$ la distance du même centre au plan polaire de ce point, à la polaire conjuguée de cette droite ou au pôle de ce plan ; on aura, comme l’on sait, $\operatorname {d} '=r^{2},$ d’où

$d={\frac {r^{2}}{d'}},\qquad d'={\frac {r^{2}}{d}}.$

Par conséquent, s’il existe une relation quelconque entre les distances du centre de la sphère directrice aux sommets, arêtes et faces d’un polyèdre, on obtiendra, en faisant usage de ces formu-