On peut parvenir à ce résultat d’une manière plus satisfaisante au moyen des considérations suivantes :
Menons au cercle deux tangentes parallèles quelconques ; les points de contact et le centre se trouveront sur un même diamètre qui sera en même temps perpendiculaire aux deux tangentes.
Dans la conique polaire réciproque du cercle cette propriété répond à la suivante :
Si, dans la conique polaire réciproque du cercle on mène une corde arbitraire qui passe par le centre du cercle directeur, puis des tangentes à la courbe par les extrémités de cette corde, ces tangentes iront concourir sur la polaire du centre du cercle et, en outre, la droite qui unira le point au point de concours des tangentes sera perpendiculaire à la corde de contact.
Or, le centre du cercle directeur et la polaire du centre du cercle ne peuvent jouir d’une telle propriété à l’égard de la conique polaire de ce dernier cercle, sans être respectivement le foyer et la directrice de cette conique ; on a donc ce théorème :
La polaire réciproque d’un cercle, relative à un autre cercle considéré comme directeur, est une conique qui a pour foyer le centre du cercle directeur et pour directrice la polaire du centre de l’autre cercle.
Les tangentes menées au cercle , par le centre du cercle directeur, sont les polaires des points de la conique situés à l’infini, et leurs points de contact sont les pôles des tangentes en ces points, c’est-à-dire, des asymptotes ; donc la conique polaire réciproque du cercle est une ellipse, une parabole ou une hyperbole, suivant que le centre du cercle directeur est intérieur au cercle sur sa circonférence ou extérieur à ce cercle.
4. Ce dernier théorème est susceptible d’un grand nombre d’applications ; nous nous bornerons à en indiquer quelques-unes, en énonçant d’abord un théorème connu, et en plaçant immédiatement à sa suite celui qui s’en déduit en vertu de ce qui précède.
