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En multipliant de part et d’autre par $r^{4}$, faisant passer le facteur $r^{6}$ du premier membre entre les crochets et se rappelant qu’ici $r^{2}=x'^{2}+y'^{2},$ cette équation pourra être écrite comme il suit :

$\left\{4\lambda '^{2}\left(x^{2}+y^{2}\right)\left(x'^{2}+y'^{2}\right)-\lambda ^{2}r^{2}\left[(x+x')^{2}+(y+y')^{2}\right]\right\}^{3}$

$=27\lambda ^{4}\lambda '^{2}r^{4}(xy'-x'y)^{2}\left(x^{2}+y^{2}-x'^{2}-y'^{2}\right)^{2}.$

Posant alors $\lambda r=\lambda '\rho ,$ elle deviendra, en divisant par $\lambda '^{6},$

$\left\{4\left(x^{2}+y^{2}\right)\left(x'^{2}+y'^{2}\right)-\rho ^{2}\left[(x+x')^{2}+(y+y')^{2}\right]\right\}^{3}$

$=27\rho ^{4}(xy'-x'y)^{2}\left(x^{2}+y^{2}-x'^{2}-y'^{2}\right)^{2},$

qui ne diffère de (21) qu’en ce que $r$ y est changé en $\rho$. Il en résulte ce théorème remarquable.

La caustique par réfraction relative au cercle, dans le cas où le point rayonnant se trouve situé à la circonférence même du cercle séparateur, est en même temps la caustique par réflexion relative au même point rayonnant et à un cercle réflecteur de même centre que le premier, mais dont le rayon serait au sien dans le rapport du sinus de réfraction au sinus d’incidence.

Pour troisième application, M. de St-Laurent suppose que la distance du point rayonnant au centre du cercle séparateur est au rayon de ce cercle comme le sinus d’incidence est au sinus de réfraction. Cette supposition donne

$\lambda ^{2}\left(x'^{2}+y'^{2}\right)=\lambda '^{2}r^{2}\,;$

ou, en vertu de l’équation (11’)

$\left(\lambda '^{2}-\lambda ^{2}\right)r^{2}=\lambda ^{2}z'^{2}(z'-2v')\,;$

mais l’équation (13) donne

$\left(\lambda '^{2}-\lambda ^{2}\right)r^{2}=\lambda '^{2}v^{2}-\lambda ^{2}v'^{2}\,;$

donc