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$3T=r(a+b+c+d).$

Soit ensuite un point $\mathrm {P} ,$ situé d’une manière quelconque dans l’intérieur du tétraèdre, duquel soient abaissées respectivement sur ses faces les perpendiculaires $\alpha ,\beta ,\gamma ,\delta .$ En considérant ce point $\mathrm {P}$ comme le sommet commun de trois autres tétraèdres, ayant respectivement pour bases les quatre faces $a,b,c,d$, on aura

$3T=a\alpha +b\beta +c\gamma +d\delta ,$

et par conséquent

$a\alpha +b\beta +c\gamma +d\delta =r(a+b+c+d)\,;$

ou encore

$a(\alpha -r)+b(\beta -r)+c(\gamma -r)+d(\delta -r)=0.$

En raisonnant sur cette dernière équation, comme nous l’avons fait ci-dessus sur son analogue, on verra, sur-le-champ, 1.^o que les perpendiculaires $\alpha ,\beta ,\gamma ,\delta$ ne sauraient être ni toutes les quatre plus grandes ni toutes les quatre plus petites que le rayon $r$ ; 2.^o que par conséquent la moindre d’entre elles ne saurait être plus grande ni la plus grande d’entre elles moindre que ce rayon $r$.

On pourrait aussi se proposer ces deux problèmes :

I. Quel est le point de l’intérieur d’une surface plane fermée, dont les distances aux divers points de son périmètre sont les moins inégales possibles, de telle sorte que l’excès de la plus grande de ces distances sur la plus petite soit un minimum ?

II. Quel est le point de l’intérieur d’un corps dont les distances aux différens points de sa surface sont les moins inégales possibles, de telle sorte que l’excès de la plus grande de ces distances sur la plus petite soit un minimum ?

Ne serait-ce point alors le centre de gravité du périmètre qui ré-