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II. Il n’est aucun point, dans l’intérieur d’un tétraèdre, dont la moindre distance à ses faces soit plus grande, ni dont la plus grande distance à ses faces soit moindre que le rayon de la sphère inscrite.

La manière dont M. Bobillier justifie ces deux assertions est remarquable par sa netteté, sa simplicité et son élégance.

I. Soient d’abord $\mathrm {A,B,C}$ les trois sommets d’un triangle, $a,b,c$ les côtés respectivement opposés, $r$ le rayon du cercle inscrit et $T$ sa surface ; on aura, comme l’on sait,

$2T=r(a+b+c).$

Soit ensuite $\mathrm {P}$ un point situé d’une manière quelconque dans l’intérieur du triangle, duquel soient abaissées respectivement sur ses côtés les perpendiculaires $\alpha ,\beta ,\gamma .$ En considérant ce point $\mathrm {P}$ comme le sommet commun de trois autres triangles, ayant respectivement pour bases les trois côtés $a,b,c$, on aura

$2T=a\alpha +b\beta +c\gamma ,$

et par conséquent

$a\alpha +b\beta +c\gamma =r(a+b+c)\,;$

ou encore

$a(\alpha -r)+b(\beta -r)+c(\gamma -r)=0.$

Or, comme la somme de trois quantités des mêmes signes ne saurait être nulle, on voit déjà que les distances $\alpha ,\beta ,\gamma$ ne sauraient être ni toutes trois plus grandes ni toutes trois moindres que $r$.

Il est donc absurde de supposer que la moindre des trois est plus grande que le rayon $r$, puisque les deux autres le seraient, à plus forte raison ; ni que la plus grande est moindre que ce rayon, puisque les deux autres devraient l’être aussi.

II. Soient, en second lieu, $\mathrm {A,B,C,D,}$ les quatre sommets d’un tétraèdre, $a,b,c,d,$ les aires des faces respectivement opposées, $r$ le rayon de la sphère inscrite et $T$ le volume du tétraèdre ; on aura, comme l’on sait,