courte distance de ce point à ce côté sera moindre que la distance au même côté du centre du cercle inscrit.
M. Vallès suppose ensuite que du centre du cercle circonscrit on ait mené, aux trois sommets du triangle, des droites qui le diviseront en trois autres, dans l’un desquels se trouvera nécessairement tout autre point de son intérieur. La distance de ce point au sommet opposé sera évidemment plus grande que et la somme de ses distances aux deux autres sommets sera moindre que ; d’où il résulte que l’une d’elles au moins sera moindre que ; le centre du cercle circonscrit, conclut M. Vallès, est donc le point de l’intérieur du triangle dont la plus grande distance à ses sommets est la moindre possible.
Pour prouver cette même assertion, M. Roche imagine que, des trois sommets du triangle pris pour centres et avec le rayon du cercle circonscrit, on ait décrit trois arcs entre ses côtés, et il remarque qu’il n’est aucun point de l’intérieur de ce triangle, autre que le centre de ce cercle circonscrit, qui ne soit extérieur à l’un de ces trois arcs au moins ; d’où il conclut que la distance de ce point au sommet qui est le centre de cet arc, sera plus grande que la distance du centre du cercle circonscrit au même sommet.
M. Vallès ne néglige pas d’observer que cette dernière solution est en défaut pour les triangles obtusangles, pour lesquels il faut remplacer le centre du cercle circonscrit par le milieu du plus grand des trois côtés.
L’extension de tout ceci au tétraèdre est trop facile pour que nous croyons nécessaire de nous y arrêter.
Dans sa manière d’envisager la question, M. Bobillier s’est borné à démontrer ces deux théorèmes :
I. Il n’est aucun point, dans l’intérieur d’un triangle, dont la moindre distance à ses côtés soit plus grande, ni dont la plus grande distance à ces mêmes côtés soit moindre que le rayon du cercle inscrit.
