longue possible, ou de telle sorte que la plus longue de ces huit droites soit la plus courte possible ?
Au lieu de cela, MM. Vallès et Roche se sont proposés les quatre problèmes que voici :
I. Quel est le point de l’intérieur d’un triangle dont la plus courte distance à ses côtés est la plus grande possible ?
II. Quel est le point de l’intérieur d’un triangle dont la plus grande distance à ses sommets est la moindre possible ?
III. Quel est le point de l’intérieur d’un tétraèdre dont la plus courte distance à ses faces est la plus grande possible ?
IV. Quel est le point de l’intérieur d’un tétraèdre dont la plus grande distance à ses sommets est la moindre possible ?
Nous ne prétendons pas dire que les deux problèmes ci-dessus ne se ramènent pas à ces quatre derniers ; mais, pour en compléter l’analyse, encore faudrait-il faire voir qu’ils s’y rapportent.
MM. Vallès et Roche ont trouvé tous deux que les deux premiers problèmes sont respectivement résolus par les centres des cercles inscrit et circonscrit, et que les deux derniers l’étaient respectivement par les centres des sphères inscrite et circonscrite.
Supposons en effet, dit M. Vallès, que du centre du cercle inscrit on abaisse des perpendiculaires sur les trois côtés du triangle, ces perpendiculaires le diviseront en trois quadrilatères bi-rectangles, et tout autre point , intérieur au triangle, appartiendra nécessairement à un de ces quadrilatères. La distance de ce point au côté opposé sera nécessairement plus grande que et la somme de ses distances aux deux autres sera moindre que ; d’où il suit que l’une d’elles au moins sera moindre que ; M. Vallès conclut de là que le point , centre du cercle inscrit, est celui dont la moindre distance aux côtés du triangle est la plus grande possible.
Pour prouver cette même assertion, M. Roche imagine que par le point on a mené des parallèles aux trois côtés du triangle, et il remarque qu’il n’est aucun point de son intérieur qui ne soit compris entre un côté et sa parallèle ; d’où il conclut que la plus
