Solution. Imaginons un paraboloïde elliptique ayant son axe dans l’arête de l’angle dièdre circonscrit aux deux surfaces coniques ; soient ces deux surfaces, leurs sommets ; les polaires de par rapport à seront deux lignes du second ordre dont les plans, ayant pour pôles seront perpendiculaires à l’axe de la surface directrice et par suite parallèles. Or, puisque les deux cônes ont deux plans tangens communs, dont les pôles sont à l’infini, les courbes auront une sécante commune pareillement à l’infini ; donc ces courbes seront semblables et semblablement disposées. Représentons par et les sommets des deux cônes déterminés par et ; tout point commun à et aura pour plan polaire un plan tangent aux deux courbes et qui par conséquent passera par l’un des deux points Supposons maintenant que le premier cône restant fixe, ainsi que les deux plans tangens, le second cône se transporte parallèlement à lui-même, de telle sorte que son sommet décrive l’axe de ; les pôles de ses plans tangens décriront autant de diamètres perpendiculaires au plan de la courbe D’un autre côté, ces points seront constamment dans un plan parallèle à ce dernier ; donc la courbe est invariable et engendre une surface cylindrique dont les génératrices sont parallèles à l’axe de Il est facile maintenant de reconnaître que les sommets et décrivent des diamètres de passant par les centres de similitude des projections de sur un plan fixe quelconque, parallèle aux leurs. Or, ces lignes ont des polaires à l’infini, donc les plans des courbes d’intersection de et se meuvent parallèlement à eux-mêmes. L’intersection de ces plans a pour polaire la droite et, parce qu’elle passe toujours par le centre de il s’ensuit que cette intersection décrit un plan.
