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$\left\{4\left(x^{2}+y^{2}\right)\left(x'^{2}+y'^{2}\right)-r^{2}\left[(x+x')^{2}+(y+y')^{2}\right]\right\}^{3}$

$=27r^{4}(xy'-x'y)^{2}\left(x^{2}+y^{2}-x'^{2}-y'^{2}\right)^{2}.\qquad$(21)

Il serait à désirer que l’on pût mettre cette équation, comme celle de la caustique par réfraction relative à la ligne droite, sous la forme irrationnelle, elle en deviendrait probablement plus concise.

Pour deuxième application, M. de St-Laurent suppose que le point rayonnant est sur la circonférence même du cercle séparateur ; ce qu’on exprime en écrivant

$x'^{2}+y'^{2}=r^{2},\qquad z'=2v'.$

C’est alors l’équation (11’) qui devient inutile, l’équation (14} se réduit à

$\lambda zv'=2\lambda v(z-v)\,;\qquad (\alpha ')$

les équations (19) et (20) deviennent

$r^{2}(xy'-x'y)=2v'\left(r^{2}-vz\right){\sqrt {r^{2}-v'^{2}}}-z\left(r^{2}-2v'^{2}\right){\sqrt {r^{2}-v^{2}}},\ (\beta ')$

$r^{2}(xx'+yy')=(r-vz)\left(r^{2}-2v'^{2}\right)-2v'z'{\sqrt {\left(r^{2}-v^{2}\right)\left(r^{2}-v'^{2}\right)}}\,;\ (\gamma ')$

on doit y joindre les équations (11) et (13), qui sont

$x^{2}+y^{2}=r^{2}+z(z-2v),\quad (\delta ')\qquad {\frac {\sqrt {r^{2}-v^{2}}}{\lambda }}={\frac {\sqrt {r^{2}-v'^{2}}}{\lambda '}}.\quad (\varepsilon ')$

Au moyen des équations $(\alpha ')$ et $(\varepsilon '),$ on chasse facilement de $(\beta ')et$ $(\gamma ')\ v',v'^{2}$ et ${\sqrt {r^{2}-v'^{2}}}$ des équations $(\beta ')$ et $(\gamma ')$ ; et il ne reste plus alors qu’à éliminer $v$ et $z$ entre les deux équations résultantes et l’équation $(\delta ').$ On trouve ainsi

$r^{2}\left\{4\lambda '^{2}\left(x^{2}+y^{2}\right)-\lambda ^{2}\left[\left(x^{2}+y^{2}\right)+2(xx'+yy')+r^{2}\right]\right\}^{3}$

$=27\lambda ^{4}\lambda '^{2}(xy'-x'y)^{2}\left(x^{2}+y^{2}-r^{2}\right)^{2}.\qquad$(22)