En substituant ces valeurs dans l’équation (3), on aura
ou simplement, en vertu de l’équation (2), L’équation de la ligne est donc dépourvue du terme indépendant de et de ; cette ligne passe donc par l’origine, c’est-à-dire, par le point comme nous l’avions annoncé.
Ce théorème offre le moyen de faire passer par deux points donnés et une transversale curviligne du (m-1).ièmedegré, qui coupe une courbe donnée du m.ième degré en des points pour lesquels les tangentes à cette dernière courbe concourent toutes en un point unique. £n déterminant, en effet, les droites et correspondant respectivement aux deux points et les tangentes menées à la courbe proposée par leur intersection auront leurs points d’intersection sur une ligne du (m-1).ième degré qui, suivant le théorème, devra passer à la fois par les deux points et et sera conséquemment la transversale demandée.
Il est clair que la même construction subsisterait encore, si les droites étaient parallèles ; mais, si elles se confondaient en une seule, le problème deviendrait indéterminé, et l’on pourrait se donner arbitrairement un troisième point de la transversale curviligne demandée.
Si l’on appelle généralement pôles d’une droite, par rapport à une courbe du m.ième degré, les points fixes suivant lesquels se coupent constamment les courbes du (m-1).ième degré, déterminées par les points de contact des divers faisceaux de tangentes à la courbe, issues des différens points de cette droite, on voit qu’un seul de ces pôles étant connu, on en peut déduire tous les autres. On voit en même temps que la même droite peut être déduite de points différens.
