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M. de St-Laurent en conclut, en ayant toujours égard à l’équation (1),

$r^{2}(xy'-x'y)=z'\left(r^{2}-vz\right){\sqrt {r^{2}-v'^{2}}}-z\left(r^{2}-v'z'\right){\sqrt {r^{2}-v^{2}}}\,;\$ (19)

on en peut conclure aussi

$r^{2}(xx'+yy')=\left(r^{2}-vz\right)\left(r^{2}-v'z'\right)+zz'{\sqrt {\left(r^{2}-v^{2}\right)\left(r^{2}-v'^{2}\right)}}.$ (20)

Alors l’équation de la caustique sera le résultat de l’élimination de $v,v',z,z',$ entre les quatre équations (11), (11’), (13), (14) et l’une ou l’autre des deux équations (19) et (20).

Pour première application de ces formules, M. de St-Laurent cherche d’abord à en déduire l’équation de la caustique par réflexion d’une manière moins laborieuse qu’il ne l’avait fait (Annales, tom. XVII, pag. 128). On a dans ce cas $\lambda '=-\lambda$ et $v'=v,$ ce qui réduit l’équation (14)

$(z+z')v=2zz'\,;\qquad (\alpha )$

l’équation (13) devient alors inutile, mais elle prouve que les deux radicaux doivent être pris en signes contraires ; de sorte que les équations (19) et (20) deviennent

$r^{2}(xy'-x'y)=\left\{z'\left(r^{2}-vz\right)+z\left(r^{2}-vz'\right)\right\}{\sqrt {r^{2}-v^{2}}},\quad (\beta )$

$r^{2}(xx'+yy')=\left(r^{2}-vz\right)\left(r^{2}-vz'\right)-zz'(r^{2}-v^{2})\,;\qquad \ (\gamma )$

il faudra y joindre les équations (11) et (11’), qui sont

$x^{2}+y^{2}=r^{2}+z(z-2v),\quad (\delta )\qquad x'^{2}+y'^{2}=r^{2}+z'(z'-2v).\quad (\delta ')$

Il sera facile de chasser, des quatre dernières, au moyen de l’équation $(\alpha )$ ; on n’aura plus alors qu’à éliminer $z$ et $z',$ et on trouvera facilement, comme M. de St-Laurent l’avait déjà obtenu la première fois,