M. de St-Laurent en conclut, en ayant toujours égard à l’équation (1),
(19)
on en peut conclure aussi
(20)
Alors l’équation de la caustique sera le résultat de l’élimination de entre les quatre équations (11), (11’), (13), (14) et l’une ou l’autre des deux équations (19) et (20).
Pour première application de ces formules, M. de St-Laurent cherche d’abord à en déduire l’équation de la caustique par réflexion d’une manière moins laborieuse qu’il ne l’avait fait (Annales, tom. XVII, pag. 128). On a dans ce cas et ce qui réduit l’équation (14)
l’équation (13) devient alors inutile, mais elle prouve que les deux radicaux doivent être pris en signes contraires ; de sorte que les équations (19) et (20) deviennent
il faudra y joindre les équations (11) et (11’), qui sont
Il sera facile de chasser, des quatre dernières, au moyen de l’équation ; on n’aura plus alors qu’à éliminer et et on trouvera facilement, comme M. de St-Laurent l’avait déjà obtenu la première fois,