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Mais en vertu du théorème des fonctions homogènes, on a

${\frac {\operatorname {d} u'_{n}}{\operatorname {d} x'}}x'+{\frac {\operatorname {d} u'_{n}}{\operatorname {d} y'}}y'=nu'_{n},$

${\frac {\operatorname {d} ^{2}u'_{n}}{\operatorname {d} x'^{2}}}x'^{2}+2{\frac {\operatorname {d} ^{2}u'_{n}}{\operatorname {d} x'\operatorname {d} y'}}x'y'+{\frac {d^{2}u'_{n}}{\operatorname {d} y'^{2}}}y'^{2}=n(n-1)u'_{n},$

${\frac {\operatorname {d} ^{3}u'_{n}}{\operatorname {d} x'^{3}}}x'^{3}+3{\frac {\operatorname {d} ^{3}u'_{n}}{\operatorname {d} x'^{2}\operatorname {d} y'}}x'^{2}y'+3{\frac {\operatorname {d} ^{3}u'_{n}}{\operatorname {d} x'\operatorname {d} y'^{2}}}x'y'^{2}+{\frac {d^{3}u'_{n}}{\operatorname {d} y'^{3}}}y'^{3}=n(n-1)(n-2)u'_{n},$

$\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots$

${\frac {\operatorname {d} ^{n}u'_{n}}{\operatorname {d} x'^{n}}}x'^{n}+{\frac {n}{1}}{\frac {\operatorname {d} ^{n}u'_{n}}{\operatorname {d} x'^{n-1}\operatorname {d} y'}}x'^{n-1}y'+{\frac {n}{1}}.{\frac {n-1}{2}}{\frac {\operatorname {d} ^{n}u'_{n}}{\operatorname {d} x'^{n-2}\operatorname {d} y'^{2}}}x'^{n-2}y'^{2}+$

$\ldots +{\frac {\operatorname {d} ^{n}u'_{n}}{\operatorname {d} y'^{n}}}y'^{n}=1.2.3\ldots nu'_{n}\,;$

En substituant donc, il viendra

$t_{n}=u'_{n}\left\{m-(m-1){\frac {a}{1}}+(m-2){\frac {n}{1}}.{\frac {n-1}{2}}\right.$

$\left.-(m-3){\frac {n}{1}}.{\frac {n-1}{2}}.{\frac {n-2}{3}}+\ldots \pm (m-n)\right\}\,;$

c’est-à-dire,

$t_{n}=mu'_{n}\left(1-{\frac {n}{1}}+{\frac {n}{1}}.{\frac {n-1}{2}}-{\frac {n}{1}}.{\frac {n-1}{2}}.{\frac {n-2}{3}}+\ldots \pm 1\right)$

$+nu'_{n}\left(1-{\frac {n-1}{1}}+{\frac {n-1}{1}}.{\frac {n-2}{2}}-{\frac {n-1}{1}}.{\frac {n-2}{2}}.{\frac {n-3}{3}}+\ldots \mp 1\right)$

ou bien encore

$t_{n}=u'_{n}\left\{m(1-1)^{n}+n(1-1)^{n-1}\right\}.$

Pour toutes les valeurs de $n$ plus grande que l’unité, cette quantité devient nulle ; pour $n=1,$ elle se réduit à $u'_{1}$ et, comme $u'_{0}$ est une constante, pour $n=0,$ elle se réduit à $m$Const. On a donc