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fera en changeant, dans l’équation (1) $x$ et $y$, respectivement, en $x+x'$ et $y+y'$ ; il faudra ensuite multiplier respectivement les termes des degrés $m-1,m-2,m-3,\ldots 3,2,1,0,$ en $x$ et $y,$ respectivement par $0,1,2,3\ldots m-2,m-1,m$ ; il faudra enfin revenir aux axes primitifs, en remplaçant $x$ et $y$, respectivement $x-x'$ et $y-y'.$

Il suffit, pour la démonstration du théorème énoncé, de trouver, dans l’équation de la ligne $\mathrm {L,}$ le terme indépendant de $x$ et $y,$ que nous désignerons par $T.$ Pour épargner les trop longs calculs, nous représenterons aussi par $t_{n}$ la partie de ce terme produite par $u_{n}$ ; de sorte qu’on aura

$T=t_{m}+t_{m-1}+t_{m-2}+\ldots +t_{n}+\ldots +t_{2}+t_{1}+t_{0}.\qquad$(3)

Cela posé, la fonction $u_{n},$ quand on y change respectivement $x$ et $y$ en $x+x'$ et $y+y',$ devient

${\begin{aligned}u'_{n}&+{\frac {\operatorname {d} u'_{n}}{\operatorname {d} x'}}.{\frac {x}{1}}+{\frac {\operatorname {d} ^{2}u'_{n}}{\operatorname {d} x'^{2}}}.{\frac {x^{2}}{1.2}}+{\frac {\operatorname {d} ^{3}u'_{n}}{\operatorname {d} x'^{3}}}.{\frac {x^{3}}{1.2.3}}+\ldots +{\frac {\operatorname {d} ^{n}u'_{n}}{\operatorname {d} x'^{n}}}.{\frac {x^{n}}{1.2\ldots n}}\\\\&+{\frac {\operatorname {d} u'_{n}}{\operatorname {d} y'}}.{\frac {y}{1}}+{\frac {\operatorname {d} ^{2}u'_{n}}{\operatorname {d} x'\operatorname {d} y'}}.{\frac {x}{1}}.{\frac {y}{1}}+{\frac {\operatorname {d} ^{3}u'_{n}}{\operatorname {d} x'^{2}\operatorname {d} y'}}.{\frac {x^{2}}{1.2}}.{\frac {y}{1}}+\\&\ \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \ldots +{\frac {\operatorname {d} ^{n}u'_{n}}{\operatorname {d} x'^{n-1}\operatorname {d} y'}}.{\frac {x^{n-1}}{1\ldots (n-1)}}.{\frac {y}{1}}\\\\&\quad \qquad \qquad +{\frac {\operatorname {d} ^{2}u'_{n}}{\operatorname {d} y'^{2}}}.{\frac {y^{2}}{1.2}}+{\frac {\operatorname {d} ^{3}u'_{n}}{\operatorname {d} x'\operatorname {d} y'^{2}}}.{\frac {x}{1}}.{\frac {y^{2}}{1.2}}+\\&\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \ldots +{\frac {\operatorname {d} ^{n}u'_{n}}{\operatorname {d} x'^{n-1}\operatorname {d} y'^{2}}}.{\frac {x^{n-2}}{1\ldots (n-2)}}.{\frac {y^{2}}{1.2}}\\\\&\ \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \quad +{\frac {\operatorname {d} ^{3}u'_{n}}{\operatorname {d} y'^{3}}}.{\frac {y^{3}}{1.2.3}}+\ldots \\&\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad +\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \\&\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \quad +{\frac {\operatorname {d} ^{n}u'_{n}}{\operatorname {d} y'^{n}}}.{\frac {y^{n}}{1.2\ldots n}}\end{aligned}}$

En multipliant les diverses colonnes respectivement par $m,m-1$,