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mes points de cette droite, lesquelles ; comme l’on sait^[1], auront les mêmes $(m-1)^{2}$ points communs, passeront toutes par le point P.

Démonstration, Si l’on désigne généralement par $u_{n}$ une fonction homogène du n.^ième degré en $x$ et $Y$ ; l’équation de la courbe $\mathrm {C_{m},}$ rapportée à deux axes conduits par le point $\mathrm {P} ,$ sera de la forme

$u_{m}+u_{m-1}+u_{m-2}+\ldots +u_{n}+\ldots +u_{3}+u_{2}+u_{1}+\mathrm {Const} .=0,\quad$(1)

les équations des lignes $\mathrm {C_{m-1},C_{m-2},C_{m-3},\ldots C_{3},C_{2},C_{1}} ,$ seront respectivement^[2]

$1u_{m-1}+2u_{m-2}+3u_{m-3}+\ldots +(m-n)u_{n}+$

$\ldots +(m-2)u_{2}+(m-1)u_{1}+m\mathrm {Const} .=0,$

$1.2u_{m-2}+2.3u_{m-3}+\ldots +(m-n-1)(m-n)u_{n}+$

$\ldots +(m-2)(m-1)u_{1}+(m-1)m\mathrm {Const} .=0,$

$1.2.3u_{m-3}+2.3.4u_{m-4}+\ldots +(m-n-2)(m-n-1)(m-n)u_{n}+$

$\ldots +(m-3)(m-2)(m-1)u_{1}+(m-2)(m-1)m\mathrm {Const} .=0$

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

$1.2.3\ldots (m-1)u_{1}+1.2.3\ldots (m-1)m\mathrm {Const} .=0.$

Cette dernière équation, qui appartient à la droite $\mathrm {C_{l},}$ divisée par $1.2.3\ldots (m-1)$ devient $u_{1}+m\mathrm {Const} .=0.$ ; et, si l’on appelle $(x',y')$ un point quelconque de cette droite, on aura

$u'_{1}+m\mathrm {Const} .=0.\qquad$(2)

Actuellement, pour trouver l’équation de la ligne $\mathrm {L}$ qui contient les points de contact des tangentes menées à la ligne $\mathrm {C_{m}}$ par le point $(x',y')$, il faut d’abord transporter l’origine en ce point, ce qu’on

1. Voy. la pag. 153 du présent volume.
2. Voy. la pag. 89 du présent volume.