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GÉOMÉTRIE DE SITUATION.

Recherches sur les lignes et surfaces algébriques
de tous les ordres ;

Par M. Bobillier, professeur à l’école des arts et métiers
de Châlons-sur-Marne.

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Dans tout ce qui va suivre, j’emploîrai les mais degré et classe comme les a entendus M. Gergorme (pag. 151) ; c’est-à-dire, qu’une ligne ou une surface sera dite du m.^ième degré lorsqu’elle aura $m$ intersections, réelles ou idéales, avec une même droite, et qu’elle sera dite de m.^ième classe lorsqu’on pourra lui mener $m$ tangentes, réelles ou idéales, concourant en un même point, ou bien $m$ plans tangons, réels ou idéaux, se coupant suivant une même droite.

THÉORÈME I. Soit $\mathrm {C_{m}}$ une courbe plane du m.^ième degré. Soient $\mathrm {C_{m-1},C_{m-2},C_{m-3},\ldots C_{3},C_{2},C_{1}} ,$ une suite d’autres lignes des degrés respectifs $\mathrm {m-1,m-2,m-3,\ldots 3,2,1} ,$ telles çue $\mathrm {C_{m-1}}$ passe par les points de contact de $\mathrm {C_{m}}$ avec ses tangentes issues d’un même point fixe $\mathrm {P}$ de son plan ; et que chacune des autres soit par rapport à celle qui la précède immédiatement et pour le même point $\mathrm {P} ,$ ce qu’est $\mathrm {C_{m-1}}$ par rapport à $\mathrm {C_{m},}$ la dernière $\mathrm {C_{1}}$ de ces lignes, se réduira à une droite.

Si, par différens points de la droite $\mathrm {C_{1},}$ on mène à la courbe $\mathrm {C_{m}}$ toutes les tangentes possibles, les lignes du (m-1).^ième degré déterminées par les points de contact des tangentes issues des mê-