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$r^{2}(xy'-x'y)^{2}=\left(x^{2}+y^{2}\right)(r^{2}-v'z')^{2}$

$-2(xx'+yy')(r^{2}-vz)(r^{2}-v'z')+\left(x'^{2}+y'^{2}\right)(r^{2}-vz)^{2},\quad (15)$

ce qui réduit la recherche de l’équation de la caustique à l’élimination des quatre quantités $v,v',z,z'$ entre les cinq équations (11), (11’), (13), (14), (15).

M. de St-Laurent, dans la vue de se procurer des équations auxiliaires, utiles pour les applications qu’il a en vue, élimine $t$ et $u$ de cette autre manière : en combinant l’équation (1) avec les équations (11) et (11’), et en quarrant les équations (12) et (12’) on obtient

${\begin{array}{l}\left(t^{2}+u^{2}\right)\left(x^{2}+y^{2}\right)=r^{4}-2r^{2}vz+r^{2}z^{2},&\\\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \left(t^{2}+u^{2}\right)\left(x'^{2}+y'^{2}\right)=r^{4}-2r^{2}v'z'+v'^{2}z'^{2},&\\\\(xt+yu)^{2}=r^{4}-2r^{2}vz+v^{2}z^{2},&\\\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad (x't+y'u)^{2}=r^{4}-2r^{2}v'z'+v'^{2}z'^{2},&\end{array}}$

d’où en retranchant, réduisant et extrayant les racines

$yt-xu=z{\sqrt {r^{2}-v^{2}}},\quad$(16)$\quad y't-x'u=z'{\sqrt {r^{2}-v'^{2}}}.\qquad$(16)

Nous adoptons ici les signes nécessaires pour que ces équations combinées avec l’équation (13), s’accordent avec l’équation (2).

Si, entre les équations (16) et (16’), et les équations (12) et (12’) respectivement, on élimine tour à tour $y$ et $y',\ x$ et $x',$ on trouvera, en ayant égard à l’équation (1),

${\begin{array}{lr}r^{2}x=t\left(r^{2}-vz\right)-uz{\sqrt {r^{2}-v^{2}}},\qquad &(17)\\\\r^{2}x'=t\left(r^{2}-v'z'\right)-uz'{\sqrt {r^{2}-v'^{2}}},\qquad &(17')\\\\r^{2}y=u\left(r^{2}-vz\right)+tz{\sqrt {r^{2}-v^{2}}},\qquad &(18)\\\\r^{2}y'=u\left(r^{2}-v'z'\right)+tz'{\sqrt {r^{2}-v'^{2}}},\qquad &(18')\end{array}}$