![{\displaystyle r^{2}(xy'-x'y)^{2}=\left(x^{2}+y^{2}\right)(r^{2}-v'z')^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/29406703de1e1bb50951c82111d51d7548b6907d)
![{\displaystyle -2(xx'+yy')(r^{2}-vz)(r^{2}-v'z')+\left(x'^{2}+y'^{2}\right)(r^{2}-vz)^{2},\quad (15)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/30e3450abcbec1022eb266dde4308f6de2f2b199)
ce qui réduit la recherche de l’équation de la caustique à l’élimination des quatre quantités
entre les cinq équations (11), (11’), (13), (14), (15).
M. de St-Laurent, dans la vue de se procurer des équations auxiliaires, utiles pour les applications qu’il a en vue, élimine
et
de cette autre manière : en combinant l’équation (1) avec les équations (11) et (11’), et en quarrant les équations (12) et (12’) on obtient
![{\displaystyle {\begin{array}{l}\left(t^{2}+u^{2}\right)\left(x^{2}+y^{2}\right)=r^{4}-2r^{2}vz+r^{2}z^{2},&\\\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \left(t^{2}+u^{2}\right)\left(x'^{2}+y'^{2}\right)=r^{4}-2r^{2}v'z'+v'^{2}z'^{2},&\\\\(xt+yu)^{2}=r^{4}-2r^{2}vz+v^{2}z^{2},&\\\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad (x't+y'u)^{2}=r^{4}-2r^{2}v'z'+v'^{2}z'^{2},&\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f050535ebd4017e7cf585a535e0fd591c02692d6)
d’où en retranchant, réduisant et extrayant les racines
![{\displaystyle yt-xu=z{\sqrt {r^{2}-v^{2}}},\quad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/da799799e03b4bcd51e05e8d494d8f0484a9ecf3)
(16)
![{\displaystyle \quad y't-x'u=z'{\sqrt {r^{2}-v'^{2}}}.\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/026ec2a04a572b1294b30e862219d55720e12581)
(16)
Nous adoptons ici les signes nécessaires pour que ces équations combinées avec l’équation (13), s’accordent avec l’équation (2).
Si, entre les équations (16) et (16’), et les équations (12) et (12’) respectivement, on élimine tour à tour
et
et
on trouvera, en ayant égard à l’équation (1),
![{\displaystyle {\begin{array}{lr}r^{2}x=t\left(r^{2}-vz\right)-uz{\sqrt {r^{2}-v^{2}}},\qquad &(17)\\\\r^{2}x'=t\left(r^{2}-v'z'\right)-uz'{\sqrt {r^{2}-v'^{2}}},\qquad &(17')\\\\r^{2}y=u\left(r^{2}-vz\right)+tz{\sqrt {r^{2}-v^{2}}},\qquad &(18)\\\\r^{2}y'=u\left(r^{2}-v'z'\right)+tz'{\sqrt {r^{2}-v'^{2}}},\qquad &(18')\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/871ad17557d25c2b7bd911eaa7ed610153e3a317)