![{\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {z^{8}-2\left(x^{2}+y^{2}-r^{2}\right)^{2}z^{4}+\left(x^{2}+y^{2}-r^{2}\right)^{4}}{\lambda ^{2}z^{6}}}\\\\=&{\frac {z'^{8}-2\left(x'^{2}+y'^{2}-r^{2}\right)^{2}z'^{4}+\left(x'^{2}+y'^{2}-r^{2}\right)^{4}}{\lambda '^{2}z'^{6}}}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7c9316a33c9e73255227c3f2b45eed3aed9c343e)
ce qui donne, en retranchant,
![{\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {2\left(x^{2}+y^{2}+r^{2}\right)z^{6}-3\left(x^{2}+y^{2}-r^{2}\right)^{2}z^{4}+\left(x^{2}+y^{2}-r^{2}\right)^{4}}{\lambda ^{2}z^{6}}}\\\\=&{\frac {2\left(x'^{2}+y'^{2}+r^{2}\right)z'^{6}-3\left(x'^{2}+y'^{2}-r^{2}\right)^{2}z'^{4}+\left(x'^{2}+y'^{2}-r^{2}\right)^{4}}{\lambda '^{2}z'^{6}}}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/14bd8a26711857d348f2fe9578f14ec9458c1180)
Changeant respectivement
et
en
et
tant dans l’équation (7) que dans cette dernière, elles deviendront
![{\displaystyle \left.{\begin{aligned}&{\frac {\zeta ^{2}-2\left(x^{2}+y^{2}+r^{2}\right)\zeta +\left(x^{2}+y^{2}-r^{2}\right)^{2}}{\lambda ^{2}\zeta }}\\\\=&{\frac {\zeta '^{2}-2\left(x'^{2}+y'^{2}+r^{2}\right)\zeta '+\left(x'^{2}+y'^{2}-r^{2}\right)^{2}}{\lambda '^{2}\zeta '}},\end{aligned}}\right\}\quad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/91cb59b7d79294ff6d35090860b4ac8ec7b258d0)
(9)
![{\displaystyle \left.{\begin{aligned}&{\frac {2\left(x^{2}+y^{2}+r^{2}\right)\zeta ^{3}-3\left(x^{2}+y^{2}-r^{2}\right)^{2}\zeta ^{2}+\left(x^{2}+y^{2}-r^{2}\right)^{4}}{\lambda ^{2}\zeta ^{3}}}\\\\=&{\frac {2\left(x'^{2}+y'^{2}+r^{2}\right)\zeta '^{3}-3\left(x'^{2}+y'^{2}-r^{2}\right)^{2}\zeta '^{2}+\left(x'^{2}+y'^{2}-r^{2}\right)^{4}}{\lambda '^{2}\zeta '^{3}}}\,;\end{aligned}}\right\}\quad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c4d5e41adb80a3d2d31f7fe8a1612ad4e500c3b5)
(10)
équations qui ne sont plus que des troisième et sixième degrés en
et
. En supposant qu’on parvienne à les résoudre par rapport à ces deux inconnues, on conclura de leurs valeurs, au moyen des équations
![{\displaystyle {\begin{aligned}2(xt+yu)&=\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)-\zeta ,\\\\2(x't+y'u)&=\left(x'^{2}+y'^{2}+z'^{2}\right)-\zeta ',\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/33af0bc902450a5610bd94d27385249aff782742)