Page:Annales de mathématiques pures et appliquées, 1827-1828, Tome 18.djvu/125

$\mathrm {A'\ \,B''} ,$ parallèle à $\mathrm {S''\,S'\ } ,$ et se terminant à $\mathrm {S'''S''}$ et $\mathrm {S'''S'\,} \,;$

$\mathrm {A''B'''} ,$ parallèle à $\mathrm {S'''S''} ,$ et se terminant à $\mathrm {S'\ S'''}$ et $\mathrm {S'\ \,S''} \,;$

$\mathrm {A'''B'} \ ,$ parallèle à $\mathrm {S'\ S'''} ,$ et se terminant à $\mathrm {S''S'\ \,}$ et $\mathrm {S''S'''} \,;$

Les triangles $\mathrm {A'OB',A''OB'',A'''OB'''}$ seront les bases de nos trois tétraèdres dont nous supposerons les sommets respectifs en $\mathrm {C',C'',C''',}$ et que nous représenterons respectivement par $\mathrm {T',T'',T'''.}$ Alors $\mathrm {OC',OC'',OC'''}$ seront les trois arêtes d’un même angle du parallélipipède $P$ ; et cet angle sera évidemment égal à chacun des angles $\mathrm {C',C'',C'''}$ des tétraèdres $T',T'',T'''.$

Mais, lorsqu’un parallélipipède et un tétraèdre ont un angle trièdre égal, le volume du parallélipipède est au volume du tétraèdre, comme six fois le produit des trois arêtes du parallélipipède qui comprennent l’angle dont il s’agit, est au produit des trois arêtes qui comprennent son égal dans le tétraèdre. En observant donc que le parallélipipède, a une arête commune avec chacun des tétraèdres $T',T'',T''',$ et que ces trois tétraèdres sont semblables, on aura

${\begin{array}{rll}{\frac {P}{T'}}&=6.{\frac {OC''.OC'''}{C'A'.C'B'}}&=6.{\frac {OB''.OA'''}{OA'.OB'}},\\\\{\frac {P}{T''}}&=6.{\frac {OC'''.OC'}{C''A''.C''B''}}&=6.{\frac {OB'''.OA'}{OA''.OB''}},\\\\{\frac {P}{T'''}}&=6.{\frac {OC'.OC''}{C'''A'''.C'''B'''}}&=6.{\frac {OB'.OA''}{OA'''.OB'''}}.\end{array}}$

Mais, si l’on représente par $t',t'',t'''$ les bases respectives des