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Or, cette équation a deux racines imaginaires qui ne sauraient convenir à la question qui nous occupe. En ne prenant donc que sa racine réelle, on aura simplement, connue l’annonce le théorème,

$Q=3\left({\sqrt[{3}]{T'}}+{\sqrt[{3}]{T''}}\right){\sqrt[{3}]{T'T''}}.$

THÉORÈME IV. Les plans conduits par un même point, pris arbitrairement dans l’intérieur de la base d’un tétraèdre, parallèlement à ses trois autres faces, partagent ce tétraèdre en trois autres tétraèdres $\mathrm {T',T'',T''',}$ trois hexaèdres heptagones, respectivement opposés $\mathrm {Q',Q'',Q''',}$ lesquels sont des troncs de prismes triangulaires, ayant une arête latérale nulle, et enfin un parâllèlipipède $\mathrm {P,}$ tels qu’on a

1.^o $\left\{{\begin{aligned}Q'\ \,&=3\left({\sqrt[{3}]{T''}}+{\sqrt[{3}]{T'''}}\right){\sqrt[{3}]{T''T'''}},\\\\Q''\,&=3\left({\sqrt[{3}]{T'''}}+{\sqrt[{3}]{T'}}\right){\sqrt[{3}]{T'''T'}},\\\\Q'''\,&=3\left({\sqrt[{3}]{T'}}+{\sqrt[{3}]{T''}}\right){\sqrt[{3}]{T'T''}}\,;\end{aligned}}\right.$

2.^o $\qquad P^{3}=216T'T''T'''.$

Démonstration. Les trois premières équations résultant tout naturellement de ce que chacun des trois systèmes de corps $\mathrm {T'',T'''}$ et $\mathrm {Q',T''',T'}$ et $\mathrm {Q'',T',T''}$ et $\mathrm {Q'''}$ se trouve dans le même cas que les trois corps du théorème III ; la quatrième seule a besoin d’être démontrée.

Pour y parvenir, soit $\mathrm {SS'S'''}$ (fig. 5) la base du tétraèdre donné, et soit $\mathrm {O}$ le point pris arbitrairement dans son intérieur par lequel on a conduit des plans respectivement parallèles à ses trois autres faces ; ces plans coupant le plan de la base suivant les droites