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depuis le point d’incidence $(t,u)$ jusqu’au point de contact $(x,y)$ avec la caustique d’une part et jusqu’au point rayonnant $(x',y')$ de l’autre. On en tirera, en quarrant et transposant

${\begin{array}{rlr}2(xt+yu)=\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)-z^{2},\qquad &(6)\\\\2(x't+y'u)=\left(x'^{2}+y'^{2}+z'^{2}\right)-z'^{2}\,;\qquad &(6')\end{array}}$

substituant ces valeurs dans les équations (4) et (5), après les avoir préalablement multipliées par quatre, elles deviendront, en réduisant,

$\left.{\begin{aligned}&{\frac {z^{4}-2\left(x^{2}+y^{2}+r^{2}\right)z^{2}+\left(x^{2}+y^{2}-r^{2}\right)^{2}}{\lambda ^{2}z^{2}}}\\\\=&{\frac {z'^{4}-2\left(x'^{2}+y'^{2}+r^{2}\right)z'^{2}+\left(x'^{2}+y'^{2}-r^{2}\right)^{2}}{\lambda '^{2}z'^{2}}},\end{aligned}}\right\}\quad$(7)

${\frac {z^{4}-\left(x^{2}+y^{2}-r^{2}\right)^{2}}{\lambda z^{3}}}={\frac {z'^{4}-\left(x'^{2}+y'^{2}-r^{2}\right)^{2}}{\lambda 'z'^{3}}}.\qquad$(8)

Si l’on parvient à tirer de ces équations les valeurs de $z$ et $z',$ on en conclura facilement, au moyen des équations (6) et (6’), celles de $t$ et $u$, dont la substitution dans l’équation (1) conduira à l’équation en $x$ et $y$ de la caustique cherchée.

Ces équations sont des sixième et septième degrés, par rapport à $z$ et $z'$ ; mais il est aisé d’en déduire d’autres d’un degré moins élevé. D’abord l’équation (7) peut être écrite comme il suit :

${\begin{aligned}&{\frac {z^{8}-2\left(x^{2}+y^{2}+r^{2}\right)z^{6}+\left(x^{2}+y^{2}-r^{2}\right)^{4}}{\lambda ^{2}z^{6}}}\\\\=&{\frac {z'^{8}-2\left(x'^{2}+y'^{2}+r^{2}\right)z'^{6}+\left(x'^{2}+y'^{2}-r^{2}\right)^{2}z'^{4}}{\lambda '^{2}z'^{6}}}\,;\end{aligned}}$

mais, en quarrant l’équation (8), elte devient