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${\frac {Parall.PA\times Parall.PA'\times Parall.PA''}{Tri.B''PC'\times Tri.BPC''\times Tri.B'PC}}=8\,;$

équation qui revient à la précédente^[1].

Démonstration de ce théorème et de quelques
autres, ainsi que de leurs analogues relatifs
au tétraèdre ;

Par M. Vallès, élève ingénieur des ponts et chaussées.

≈≈≈≈≈≈≈≈≈

Théorème I. Les parallèles à deux des côtés d’un triangle, menées par un quelconque des points du troisième, partagent ce triangle en deux autres $T'$ et $T''$ et un parallélogramme $P,$ tels qu’on a

$P^{2}-4T'T''=0.$

Démonstration. Soit $\mathrm {SS'S''}$ (fig. 2) le triangle dont il s’agit ; Soit $\mathrm {C}$ un point pris arbitrairement sur le côté $\mathrm {S'S''}$ de ce triangle, par lequel on a mené les parallèles $\mathrm {CA',CA''}$ à ses deux autres côtés, se terminant à ces mêmes côtés. Ces parallèles diviseront le triangle en deux autres $\mathrm {CA'S',CA''S'',}$ que nous représenterons respectivement par $\mathrm {T',T''}$ et en un parallélogramme $\mathrm {CS}$ que nous représenterons par $\mathrm {P.}$ Posons en outre $\mathrm {CS} '=a',\ \mathrm {CS} ''=a''.$

1. Plusieurs élèves du collège royal de Montpellier, auxquels le théorème a été proposé, l’ont démontré de l’une et de l’autre manière. Il est dû à l’élèye Ch. Sicard, du collège de S.^te-Barbe, à Paris, qui a démontré en outre que $\mathrm {PB.BB'.PB''}$$=\mathrm {PC.PC'.PC''.}$
   J. D. G.