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Démonstration du théorème de géométrie énoncé
à la page 28 du présent volume ;

Par MM. ROCHE, professeur de mathématiques, de physique
et de chimie à l’École d’artillerie de la marine ;
Reynard, répétiteur de mathématiques à l’École d’artillerie
de la Garde Royale, et Bobillier, professeur
à l’École des arts et métiers de Châlons-sur-Marne.

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Théorème. Trois droites respectivement parallèles aux trois côtés d’un triangle, menées par un même point pris arbitrairement dans l’intérieur de ce triangle, le partagent en trois parallélogrammes et en trois triangles ; tels que le produit des aires des trois parallélogrammes est égal à huit fois le produit des aires des trois triangles.

Démonstration. Soit $\mathrm {AA'A''}$ (fig. 1) un triangle quelconque, et soit $\mathrm {P}$ un point pris arbitrairement dans son intérieur. Soient menées, par ce point $\mathrm {P,}$

$\mathrm {B'C''} ,$ parallèle à $\mathrm {A'A''} ,$ et se terminant à $\mathrm {AA'} \ \,$ et $\mathrm {AA} '',$

$\mathrm {B''C} \ ,$ parallèle à $\mathrm {A''A} \ ,$ et se terminant à $\mathrm {A'A''}$ et $\mathrm {A'A} ,$

$\mathrm {BC'} \ \ ,$ parallèle à $\mathrm {AA'} \ \ ,$ et se terminant à $\mathrm {A''A} \$ et $\mathrm {A''A'} .$

On aura, par des théorèmes connus,

$Parall.\ \mathrm {PA\ =PB\,.\,PC} \,.\,Sin.\mathrm {A} ,\,$

$Parall.\ \mathrm {PA'=PB'.PC'} .Sin.\mathrm {A'} ,$