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$m-m'=2.{\frac {\sqrt {\left(AB-C^{2}\right)\left\{(A+B-2C\operatorname {Cos} .\gamma )^{2}-4\left(AB-C^{2}\right)\operatorname {Sin} .^{2}\gamma \right\}}}{2C^{2}-B(A-B)-2BC\operatorname {Cos} .\gamma }}\,;$

on trouve ensuite

$1+(m+m')\operatorname {Cos} .\gamma +mm'={\frac {(A+B-2C\operatorname {Cos} .\gamma )^{2}-4\left(AB-C^{2}\right)\operatorname {Sin} .^{2}\gamma }{2C^{2}-B(A-B)-2BC\operatorname {Cos} .\gamma }}\,;$

ces valeurs étant substituées dans la formule (26), elle deviendra

$\operatorname {Tang} .\theta ={\sqrt {\frac {4\left(AB-C^{2}\right)\operatorname {Sin} .^{2}\gamma }{(A+B-2C\operatorname {Cos} .\gamma )^{2}-4\left(AB-C^{2}\right)\operatorname {Sin} .^{2}\gamma }}}\,;$

d’où

$\operatorname {Sin} .\theta =2\operatorname {Sin} .\gamma .{\frac {\sqrt {AB-C^{2}}}{A+B-2C\operatorname {Cos} .\gamma }}.\qquad$(31)

Tel est donc, pour chaque valeur de l’indéterminée $C,$ l’angle des diamètres conjugués égaux.

Or, soient $2a$ et $2b$ les deux diamètres principaux d’une ellipse et $\alpha$ l’angle de ses diamètres conjugués, on aura, comme l’on sait, $\operatorname {Tang} .{\frac {1}{2}}\alpha ={\frac {b}{a}},$ d’où l’on voit que l’angle $\alpha$ approchera d’autant plus d’un angle droit, que les deux diamètres $2a$ et $2b$ approcheront le plus d’être égaux et conséquemment d’autant plus que cette ellipse sera plus approchante du cercle. Si donc on veut savoir quelle est, de toutes les ellipses circonscrites à notre quadrilatère, celle qui approche le plus du cercle, il ne s’agira que d’assigner la valeur de $C$ qui, dans la formule (31), rend \operatorname{Sin}.0 maximum, ou sa différentielle nulle.

Égalant donc cette différentielle à zéro, on trouvera

$2AB\operatorname {Cos} .\gamma -C(A+B)=0\,;$

d’où