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sa tangente soit nulle, ce qui donnera, toutes réductions faites,

$\left(1+2m'\operatorname {Cos} .\gamma +m'^{2}\right)\operatorname {d} m=+\left(1+2m'\operatorname {Cos} .\gamma +m^{2}\right)\operatorname {d} m',$

mais, en différentiant l’équation (24) on a

$(Bm+C)\operatorname {d} m'=-(Bm'+C)\operatorname {d} m\,;$

d’où, en multipliant et réduisant

$(Bm+C)\left(1+2m'\operatorname {Cos} .\gamma +m'^{2}\right)+(Bm'+C)\left(1+2m\operatorname {Cos} .\gamma +m^{2}\right)=0,$

ou bien en développant

$\left\{B(m+m')-2(C-2B\operatorname {Cos} .\gamma )\right\}mm'+$

$\left\{C(m+m')^{2}+(B+C\operatorname {Cos} .\gamma )(m+m')+2C\right\}=0.$ (27)

Mais l’équation (24) donne

$mm'=-{\frac {C(m+m')+A}{B}},\qquad$(28)

qui, substitué dans (27), donne

$m+m'=-2.{\frac {C(A+B)-2AB\operatorname {Cos} .\gamma }{2C^{2}-B(A-B)-2BC\operatorname {Cos} .\gamma }}\,;\qquad$(29)

cette valeur, substituée à son tour dans (28), donne

$mm'={\frac {2C^{2}+A(A-B)-2AC\operatorname {Cos} .\gamma }{2C^{2}-B(A-B)-2BC\operatorname {Cos} .\gamma }}\,;\qquad$(30)

de sorte que $m$ et $m'$ sont racines d’une même équation du second degré, comme on pouvait bien s’y attendre.

En retranchant du quarré de la valeur de $m+m'$ le quadruple de celle de $mm',$ et extrayant la racine quarrée du résultat, il vient