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Mais, en mettant l’équation (20) sous cette forme

$Ax+mBy+(D+mE)+(mx+y)C=0,$

on voit qu’elle est satisfaite, quelle que soit l’indéterminée $C,$ en posant, à la fois,

$Ax+mBy+(D+mE)=0,\qquad (mx+y)=0\,;\qquad$(22)

donc, dans toutes les ellipses circonscrites au quadrilatère, le conjugué du diamètre parallèle à la droite fixe quelconque (21) passe par le point fixe donné par les deux équations (22). Il est donc vrai 3.^o que les conjugués des diamètres parallèles de toutes les ellipses circonscrites à un même quadrilatère concourent tous en un même point^[1]. Il est en outre facile de voir que ce point est constamment un des points du périmètre de l’hyperbole lieu des centres ; car, si l’on élimine $m$ entre les équations (22) qui le déterminent, ou tombe sur l’équation

$x(Ax+D)=y(By+E),$

qui est précisément (9) l’équation de cette hyperbole.

Il faut pourtant excepter de la proposition ci-dessus le cas où saurait une valeur qui rendît les droites (22) parallèles, car alors le point de concours des conjugués des diamètres parallèles, se trouverait infiniment éloigné, c’est-à-dire, que ces conjugués seraient eux-mêmes parallèles. C’est ce qui arriverait si l’on avait

${\frac {A}{m}}=mB\quad$ou$\quad m={\sqrt {\frac {A}{B}}}\,;$

1. On trouve une démonstration fort élégante de cette proposition, ainsi que beaucoup d’autres choses intéressantes, dans un petit ouvrage de M. Lamé, ayant pour titre : Examen des différentes méthodes, etc. ; in-8.^o (Paris, Courcier, 1818).