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axes des deux seules paraboles qui puissent être circonscrites à ce même quadrilatère.

En remarquant que l’équation (9) est satisfaite par les divers systèmes de valeurs

$\left\{{\begin{aligned}&t=0,\\\\&u=0\,;\end{aligned}}\right.\quad \left\{{\begin{aligned}&t=0,\\\\&u=-{\frac {E}{B}}\,;\end{aligned}}\right.\quad \left\{{\begin{aligned}&t=-{\frac {D}{A}},\\\\&u=0\,;\end{aligned}}\right.\quad \left\{{\begin{aligned}&t=-{\frac {D}{A}},\\\\&u=-{\frac {E}{B}};\end{aligned}}\right.$

remettant pour $A,B,D,E$ leurs valeurs (3), observant que les axes des coordonnées sont deux côtés opposés quelconques, et peuvent être aussi les deux diagonales considérées comme côtés opposés, on s’assurera, comme on l’a déjà fait (Annales, tonu IX, pag. 396), que l’hyperbole, lieu des centres de toutes les ellipses circonscrites à un même quadrilatère convexe passe 1.^o par les trois points de concours des côtés opposés et des diagonales ; 2.^o par les six points milieux des quatre côtés et des deux diagonales ; 3.^o enfin par les quatrièmes sommets des trois parallélogrammes dont deux sommets opposés seraient les milieux, soit de deux côtés opposés, soit des deux diagonales, et le troisième le point de concours de ces mêmes côtés ou diagonales. Les formules (11), envisagées de la même manière, prouveront que le centre de cette hyperbole est la commune section des trois droites qui joignent les milieux, tant des côtés opposés que des diagonales du quadrilatère.

En posant pour abréger

$Dt+Eu+F=k,\qquad$(13)

et ayant égard aux équations (8), l’équation (1) prendra cette forme

$A(x-t)^{2}+B(y-u)^{2}+2C(x-t)(y-u)+k=0\,;\qquad$(14)

et l’équation d’un diamètre quelconque de l’une quelconque des ellipses circonscrites au quadrilatère sera de celle-ci