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palement nous attacher à profiter de cette dernière équation pour rabaisser le degré des deux autres par rapport à ces deux paramètres. On a d’abord, en vertu de l’équation (1),

$(x-t)^{2}+(y-u)^{2}=x^{2}+y^{2}+t^{2}+u^{2}-2(xt+yu)$

$=\left(x^{2}+y^{2}+r^{2}\right)-2(xt+yu),$

$(x'-t)^{2}+(y'-u)^{2}=x'^{2}+y'^{2}+t^{2}+u^{2}-2(x't+y'u)$

$=\left(x'^{2}+y'^{2}+r^{2}\right)-2(x't+y'u).$

On a ensuite, identiquement et par l’équation (1),

$(yt-xu)^{2}=\left(t^{2}+u^{2}\right)\left(x^{2}+y^{2}\right)-(xt+yu)^{2}$

$=r^{2}\left(x^{2}+y^{2}\right)-(xt+yu)^{2},$

$(y't-x'u)^{2}=\left(t^{2}+u^{2}\right)\left(x'^{2}+y'^{2}\right)-(x't+y'u)^{2}$

$=r^{2}\left(x'^{2}+y'^{2}\right)-(x't+y'u)^{2}\,;$

au moyen de quoi les équations (2) et (3) deviennent, en quarrant la première,

$\left.{\begin{aligned}&{\frac {r^{2}(x^{2}+y^{2})-(xt+yu)^{2}}{\lambda ^{2}\left\{\left(x^{2}+y^{2}+r^{2}\right)-2(xt+yu)\right\}}}\\\\=&{\frac {r^{2}(x'^{2}+y'^{2})-(x't+y'u)^{2}}{\lambda '^{2}\left\{\left(x'^{2}+y'^{2}+r^{2}\right)-2(x't+y'u)\right\}}},\end{aligned}}\right\}\quad$(4)

$\left.{\begin{aligned}&{\frac {\left(x^{2}+y^{2}+r^{2}\right)(xt+yu)-(xt+yu)^{2}-r^{2}\left(x^{2}+y^{2}\right)}{\lambda ^{2}\left\{\left(x^{2}+y^{2}+r^{2}\right)-2(xt+yu)\right\}^{\frac {3}{2}}}}\\\\=&{\frac {\left(x'^{2}+y'^{2}+r^{2}\right)(x't+y'u)-(x't+y'u)^{2}-r^{2}\left(x'^{2}+y'^{2}\right)}{\lambda '^{2}\left\{\left(x'^{2}+y'^{2}+r^{2}\right)-2(x't+y'u)\right\}^{\frac {3}{2}}}}\end{aligned}}\right\}\quad$(5)

Si nous posons présentement

${\begin{aligned}{\sqrt {\left(x^{2}+y^{2}+r^{2}\right)-2(xt+yu)}}&=z,\\\\{\sqrt {\left(x'^{2}+y'^{2}+r^{2}\right)-2(x't+y'u)}}&=z'\,;\end{aligned}}$

$z$ et $z'$ seront les longueurs des rayons réfracté et incident, comptées