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qu’en un point unique donné par les deux équations (6) et (7) ; donc la double droite (6) doit être une parallèle menée par l’origine à l’axe de la double parabole (5).

Si l’on désigne par $(t,u)$ le centre de l’une des ellipses circonscrites au quadrilatère, ce centre sera donné, comme l’on sait, par les deux équations

$At+Cu+D=0,\qquad Bu+Ct+E=0s.\qquad$(8)

On obtiendra donc le lieu des centres de toutes les ellipses circonscrites au quadrilatère, en éliminant entre ces deux équations l’indéterminée $C,$ ce qui donnera

$t(At+D)=u(Bu+E)\,;\qquad$(9)

équation qui, parce que $A$ et $B$ sont de même signe, appartient à une hyperbole.

En mettant l’équation de la courbe sous la forme

$A\left(t+{\frac {D}{2A}}\right)^{2}-B\left(u+{\frac {E}{2B}}\right)^{2}={\frac {BD^{2}-AE^{2}}{4AB}}\,;\qquad$(10)

ce qui donne, pour les équations de son centre,

$t=-{\frac {D}{2A}},\qquad u=-{\frac {E}{2B}}\,;\qquad$(11)

l’équation commune à ses asymptotes est

$\left(t+{\frac {D}{2A}}\right){\sqrt {A}}\pm \left(u+{\frac {E}{2B}}\right){\sqrt {B}}=0,\qquad$(12)

équation commune à deux droites respectivement parallèles aux droites (6) ; ainsi 2.^o le lieu des centres de toutes les ellipses circonscrites à un même quadrilatère convexe quelconque, est une hyperbole dont les asymptotes sont respectivement parallèles aux